Question

（2012•萊蕪）如圖，在菱形ABCD中，AB=2

3

，∠A=60°，以點(diǎn)D為圓心的⊙D與邊AB相切于點(diǎn)E．
（1）求證：⊙D與邊BC也相切；
（2）設(shè)⊙D與BD相交于點(diǎn)H，與邊CD相交于點(diǎn)F，連接HF，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）；
（3）⊙D上一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半周，當(dāng)S_△HDF=

3

S_△MDF時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：（1）過D作DQ⊥BC于Q，連接DE，根據(jù)切線性質(zhì)得出DE⊥AB，根據(jù)菱形性質(zhì)求出BD平分∠ABC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=DQ，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形判定得出等邊三角形ADB，求出DE值，即可得出圓的半徑長(zhǎng)，得出等邊三角形DCB和等邊三角形DHF，求出△DFH的高FN，求出△DFH的面積和扇形FDH的面積，相減即可得出答案；
（3）根據(jù)△FDH的面積和已知求出△MDF邊DF上的高M(jìn)Z，求出∠MDF，同理得出另一點(diǎn)M′也符合，且圓心角是150°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．

解答：（1）證明：過D作DQ⊥BC于Q，連接DE，
∵⊙D切AB于E，
∴DE⊥AB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴DE=DQ（角平分線性質(zhì)），
∵DQ⊥BC，
∴⊙D與邊BC也相切；

（2）解：過F作FN⊥DH于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2

3

，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DBA=60°，DC∥AB，AD=BD=AB=2

3

∵DE⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
由勾股定理得：DE=3=DH=DF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠C=∠A=60°，DC=BC，
∴△DCB是等邊三角形，
∴∠CDB=60°，
∵DF=DH，
∴△DFH是等邊三角形，
∵FN⊥DH，
∴DN=NH=

3

2

，
由勾股定理得：FN=

3 3

2

，
∴S_陰影=S_扇形FDH-S_△FDH=

60π×32

360

-

1

2

×3×

3 3

2

=

3

2

π-

9 3

4

；

（3）解：過M作MZ⊥DF于Z，
∵由（2）知：S_△HDF=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，DF=3，
又∵S_△HDF=

3

S_△DFM，
∴

9 3

4

=

3

×

1

2

×3×MZ，
∴MZ=

3

2

，
在Rt△DMZ中，sin∠MDZ=

MZ

DM

=

1

2

，
∴∠MDZ=30°，
同理還有另一點(diǎn)M′也符合，此時(shí)MM′∥CD，∠M′DC=180°-30°=150°，
∴弧MF的長(zhǎng)是

30π×3

180

=

1

2

π；
弧FM′的長(zhǎng)是

150π×3

180

=

5

2

π．
答：動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)是

1

2

π或

5

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)的定義，弧長(zhǎng)公式等，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．