Question

【題目】如圖，正方形ABCD，將邊BC繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE，CE．

（1）求∠BAE的度數；

（2）連結BD，延長AE交BD于點F．

①求證：DF=EF；

②直接用等式表示線段AB，CF，EF的數量關系．

Answer 1

【答案】(1) 75°;(2)①見解析②

【解析】

（1）根據題意利用等腰三角形性質以及等量代換求∠BAE的度數；

（2）①由正方形的對稱性可知，∠DAF=∠DCF=15°，從而證明△BCF≌△ECF，求證DF=EF；

②題意要求等式表示線段AB，CF，EF的數量關系，利用等腰直角三角形以及等量代換進行分析.

（1）解：∵AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA．

∵∠ABE=90°－60°=30°

∴∠BAE=75°．

（2）①證明：∴∠DAF=15°．連結CF．

由正方形的對稱性可知，∠DAF=∠DCF=15°．

∵∠BCD=90°，∠BCE=60°，

∴∠DCF=∠ECF=∠DAF=15°．

∵BC=EC，CF=CF，

∴△DCF≌△ECF．

∴DF=EF．

②過C作CO垂直BD交于O，

由題意求得∠OCF=30°，設OF=x，CF=2x，OB=OC=OD=x，EF=DF=OD-OF=x-x則BC=AB=有即有．