Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）直線AN交y軸于點(diǎn)F，P是拋物線的對(duì)稱軸x=1上動(dòng)點(diǎn)，H是X軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的P、H，使四邊形CFHP的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出四邊形CFHP的最短周長(zhǎng)和點(diǎn)P、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是∠MDB的角平分線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是線段DB上的動(dòng)點(diǎn)，Q、R在何位置時(shí)，BQ+QR的值最小．請(qǐng)直接寫出BQ+QR的最小值和Q、R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可，再利用圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法得出即可；
（2）利用軸對(duì)稱得出F的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GN即可得出P點(diǎn)位置，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出CF+FH+PH+PC=CF+GN進(jìn)而得出答案即可；
（3）首先求出BC=DC的長(zhǎng)度，再利用軸對(duì)稱性質(zhì)得出BQ+QR的最小值為3

2

，進(jìn)而得出Q，R的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意設(shè)所求拋物線的解析式為：
y=k（x-1）²+4，
因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)N（2，3），
∴3=k（2-1）²+4，
解得：k=-1，
∴所求拋物線為y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
所以，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）解：如圖1，連接AN交y軸于F點(diǎn)，
可求得直線AN的解析式為：y=x+1，
即點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F（0，1）
過點(diǎn)F作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G，即G（0，-1）
連接CN，再連接NG交對(duì)稱軸于P，H，
∴CF+FH+PH+PC=CF+GN=2+2

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即四邊形CFHP的最短周長(zhǎng)為2+2

5

此時(shí)直線GN的解析式為：y=2x-1
所以存在點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(

1

2

，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，1）；

（3）如圖2，
作∠MDB的平分線DG，連接BC，交DG于點(diǎn)Q，點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)R落在x軸上，
此時(shí)QB+QR=BC，
由直線DM的解析式：y=x+3，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（-3，0），
所以DB=6，∠BCD=90°，
所以BC=DC=6×

2

2

=3

2

，
所以，BQ+QR的最小值為3

2

，
由對(duì)稱關(guān)系可得：DR=DC=3

2

，
∴OR=3

2

-3，連接QR，
此時(shí)QR⊥DR，
∴QR=BR=6-3

2

，
所以，R，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(3

2

-3，0)，(3

2

-3，6-3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式和利用軸對(duì)稱求最小值問題等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出R點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．