Question

【題目】如圖，的半徑均為．

請在圖①中畫出弦，，使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；請在圖②中畫出弦，，使圖②仍為中心對稱圖形；

如圖③，在中，，且與交于點，夾角為銳角．求四邊形的面積（用含，的式子表示）；

若線段，是的兩條弦，且，你認為在以點，，，為頂點的四邊形中，是否存在面積最大的四邊形？請利用圖④說明理由．

Answer 1

【答案】答案不唯一，詳見解析；（2）；（3）四邊形是邊長為的正方形時，為最大值．

【解析】

（1）使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形,可讓弦AB=CD且AB與CD不平行（相交時交點不為圓心）,使圖②仍為中心對稱圖形,可讓AB=CD且AB∥CD,也可讓AB,CD作為兩條圓內(nèi)不重合的直徑,（2）可以以CD或AB為底來求兩三角形的面積和,先作高,然后用AE,BE（CE,DE也可以）和sinα表示出這兩個三角形的高,然后根據(jù)三角形的面積公式可得出CD×（AE+BE）sinα,AE+BE正好是AB的長,因此兩三角形的面積和就能求出來了,
（3）要分兩種情況進行討論:當(dāng)兩弦相交時,情況與（2）相同,可用（2）的結(jié)果來得出四邊形的面積（此時四邊形的面積正好是兩個三角形的面積和）,當(dāng)兩弦不相交時,我們可連接圓心和四邊形的四個頂點,將四邊形分成4個三角形來求解,由于AB=CD=R,那么我們可得出△OAB和△OCD應(yīng)該是個等腰直角三角形,那么他們的面積和就應(yīng)該是R2,下面再求出△AOD和△BOC的面積和,我們由于∠AOD+∠BOC=180°,我們可根據(jù)這個特殊條件來構(gòu)建全等三角形求解,延長BO交圓于E,那么△AOD就應(yīng)該和△CEO全等,那么求出三角形BCE的面積就求出了△AOD和△BOC的面積和,那么要想使四邊形的面積最大,△BEC中高就必須最大,也就是半徑的長,此時△BEC的面積就是R2,△BEC是個等腰直角三角形,那么四邊形ABCD就是個正方形,因此四邊形ABCD的最大面積就是2R2,因此當(dāng)∠AOD=∠BOC=90°時,四邊形ABCD的面積就最大,最大為2R2．

答案不唯一,如圖①、②

過點,分別作的垂線,垂足分別為,,

∵,,

∴

．

存在,分兩種情況說明如下:

①當(dāng)與相交時,由及知,

②當(dāng)與不相交時,如圖④．

∵,,

∴,

而

延長交于點,連接,

則,

∴,

∴,

∴,

∴,

過點作,垂足為,

則,

∴當(dāng)時,取最大值,

綜合①、②可知,當(dāng),

即四邊形是邊長為的正方形時,為最大值．