【題目】已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)如圖①,若∠ABC=∠ADC=90°,求證:ED·EA=EC·EB;
(2)如圖②,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積;
(3)如圖③,另一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接寫出AD的長(zhǎng)(用含n的式子表示).
【答案】(1)詳見解析;(2)18 ;(3).
【解析】
試題(1)證明△EAB∽△ECD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長(zhǎng),再根據(jù)△CDE的面積為6,可求得DE的長(zhǎng),在△ABH中求得BH、AH的長(zhǎng),利用(1)△EAB∽△ECD,可求得EH的長(zhǎng),由S四邊形ABCD=S△AEH-S△ECD-S△ABH即可求得四邊形ABCD的面積;(3)由(1)(2)提供的思路即可求解.
試題解析:
(1)證明:∵∠ADC=90°,
∴∠EDC=90°,
∴∠ABE=∠CDE.
又∵∠AEB=∠CED,
∴△EAB∽△ECD,
∴=,
∴ED·EA=EC·EB.
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.
∵CD=5,cos∠ADC=,
∴DG=3,CG=4.
∵S△CED=6,
∴ED=3,
∴EG=6.
∵AB=12,∠ABC=120°,則∠BAH=30°,
∴BH=6,AH=6.
由(1)得△ECG∽△EAH,
∴=,
∴EH=9,
∴S四邊形ABCD=S△AEH-S△ECD-S△ABH=×6×9-6-×6×6=75-18.
(3)作CH⊥AD于H,則CH=4,DH=3.
∴tanE=.作AG⊥DF于點(diǎn)G.
設(shè)AD=5a,則DG=3a,AG=4a,
∴FG=DF-DG=5+n-3a.
∵CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F,
∴△AFG∽△CEH,
∴=,
∴=,
∴a=,
∴AD=5a=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F,若∠C=30°,DF=2,求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=(x+m)2+m與直線y=x相交于E,C兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊),拋物線與x軸交
于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊).△ABC的外接圓⊙H與直線y=-x相交于點(diǎn)D.
⑴ 若拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),求m的值;
⑵ 求證:⊙H與直線y=1相切;
⑶ 若DE=2EC,求⊙H的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017重慶A卷第11題)如圖,小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)D處,測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長(zhǎng)BC=10米,則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為( 。▍⒖紨(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).
A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),試分別根據(jù)下列條件,求出點(diǎn)的坐標(biāo)。
(1)點(diǎn)在軸上;
(2)點(diǎn)橫坐標(biāo)比縱坐標(biāo)大3;
(3)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn),且與軸平行的直線上。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)閱讀下列材料:
我們可以通過(guò)以下方法求代數(shù)式x2+6x+5的最小值.
x2+6x+5=x2+2x3+32﹣32+5=(x+3)2﹣4,
∵(x+3)2≥0
∴當(dāng)x=﹣3時(shí),x2+6x+5有最小值﹣4.
請(qǐng)根據(jù)上述方法,解答下列問(wèn)題:
(Ⅰ)x2+4x﹣1=x2+2x2+22﹣22﹣1=(x+a)2+b,則ab的值是_____;
(Ⅱ)求證:無(wú)論x取何值,代數(shù)式x2+2x+7的值都是正數(shù);
(Ⅲ)若代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為2,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(0,a),B(b,a),且a、b滿足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A,B分別向下平移2個(gè)單位,再向左平移1個(gè)單位,分別得到點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,BD,AB.
(1)求點(diǎn)C,D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)M,連接MC,MD,使S△MCD=S四邊形ABDC?若存在這樣一點(diǎn),求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,試說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PO,當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)(不與B,D重合),直接寫出∠BAP、∠DOP、∠APO之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC ∠ACB ,BD 、CD 分別平分△ABC 的內(nèi)角 ∠ABC 、外角 ∠ACP ,BE平分外角 ∠MBC 交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E ,以下結(jié)論:①∠BDE ∠BAC ;② DB⊥BE ;③∠BDC ∠ACB 90 ;④∠BAC 2∠BEC 180 .其中正確的結(jié)論有( )
A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為-10,2,8,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),點(diǎn)E是AD中點(diǎn).
(1)求EB的長(zhǎng);
(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),達(dá)到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng),若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,當(dāng)t為何值時(shí),PQ=3cm?
(3)點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以1cm/s的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以4cm/s和9cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過(guò)后,若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,請(qǐng)問(wèn):AB-BC的值是否隨時(shí)間t的變化而變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求其常數(shù)值.
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