Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，a），B（b，a），且a、b滿足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，連接MC，MD，使S△MCD=S四邊形ABDC？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合），直接寫出∠BAP、∠DOP、∠APO之間滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）M（0，2）或（0，﹣2）；（3）①∠APO=∠DOP+∠BAP；②∠DOP=∠BAP+∠APO；③∠BAP=∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）先由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a=2，b=4，再根據(jù)平移規(guī)律，得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)四邊形ABDC的面積=AB×OA即可求解；

（2）存在．設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)S△PAB=S四邊形ABDC，列出方程求出m的值，即可確定M點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分三種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí).

解：（1）∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0，

∴a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，2）．

∵將點(diǎn)A，B分別向下平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，

∴C（﹣1，0），D（3，0）．

∴S四邊形ABDC=AB×OA=4×2=8；

（2）在y軸上存在一點(diǎn)M，使S△MCD=S四邊形ABCD．設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）．

∵S△MCD=S四邊形ABDC，

∴×4|m|=4，

∴2|m|=4，

解得m=±2．

∴M（0，2）或（0，﹣2）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)時(shí)，∠APO=∠DOP+∠BAP

理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，

②當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①的方法得，∠DOP=∠BAP+∠APO；

③當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，同①的方法得，∠BAP=∠DOP+∠APO．