Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑的⊙P與射線BA交于點(diǎn)D，射線PD交射線CA于點(diǎn)E．

（1）若點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上，設(shè)BP=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（2）當(dāng)BP=2 時(shí)，試說(shuō)明射線CA與⊙P是否相切．
（3）連接PA，若S△APE= S△ABC ， 求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)P作PH⊥AB于H，

∵∠BAC=120°，AB=AC=6，

∴∠B=∠C=30°，

∵PB=PD，

∴∠PDB=∠B=30°，CF=ACcos30°=6× =3 ，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠CPE=60°，

∴∠CEP=90°，

∴CE=AC+AE=6+y，

∴PC= = ，

∵BC=6 ，

∴PB+CP=x+ =6 ，

∴y=﹣ x+3，

∵BD=2BH= x＜6，

∴x＜2 ，

∴x的取值范圍是0＜x＜2

（2）解：∵BP=2 ，∴CP=4 ，

∴PE= PC=2 =PB，

∴射線CA與⊙P相切

（3）解：當(dāng)D點(diǎn)在線段BA上時(shí)，

連接AP，

∵S△ABC= BCAF= ×6 ×3=9 ，

∵S△APE= AEPE= y ×（6+y）= S△ABC= ，

解得：y= ，代入y=﹣ x+3得x=4 ﹣ ．

當(dāng)D點(diǎn)BA延長(zhǎng)線上時(shí)，

PC= EC= （6﹣y），

∴PB+CP=x+ （6﹣y）=6 ，

∴y= x﹣3，

∵∠PEC=90°，

∴PE= = = （6﹣y），

∴S△APE= AEPE= x= y （6﹣y）= S△ABC= ，

解得y= 或 ，代入y= x﹣3得x=3 或5 ．

綜上可得，BP的長(zhǎng)為4 ﹣ 或3 或5 ．

【解析】（1）過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)P作PH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=ACcos30°=6× =3 ，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+ =6 ，于是得到y(tǒng)=﹣ x+3，根據(jù)BD=2BH= x＜6，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到PE= PC=2 =PB，于是得到射線CA與⊙P相切；（3）D在線段BA上和延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)果．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，求一次函數(shù)的解析式，證得PE⊥AC是解題的關(guān)鍵．