Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點(diǎn)E、F，設(shè)BE=．
（1）若三角板的直角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說(shuō)明理由。

（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。
（3）若三角板的銳角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（3）．

①若DF=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）△EOF是等腰直角三角形，（2）S=x2-2x+4 (3)EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓相切。

試題分析：解：（1）∵正方形ABCD∴∠AOB=∠EOF=，BO=AO=OD，
∠OAF=∠OBE=∴∠AOF=∠BOE∴△AOF≌△BOE
∴OE=OF  ∴三角形EOF是等腰直角三角形。
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=

∵∴

（3）①∵∠EOF=∠0BE= ∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=∴△BOE∽△DFO
∴∴ 
（）
②連結(jié)EF

由①知△BOE∽△DFO
∴∵BO=DO
∴而∠EOF=∠0BE=
∴△EOF∽△EBO，∴∠FEO=∠0EB
∴點(diǎn)O到EF、BE的距離相等，而O到BE的距離即為正方形內(nèi)切
圓⊙O的半徑
∴直線EF與正方形的內(nèi)切圓相切
點(diǎn)評(píng)：熟知以上的定義性質(zhì)，定理。本題應(yīng)用的知識(shí)面很廣，對(duì)學(xué)生要求很高，要認(rèn)真的體會(huì)，把知識(shí)點(diǎn)很好的結(jié)合在一起，本題難度較大問(wèn)多，屬于偏難題。