Question

【題目】如圖，∠AOB＝30°，M、N分別是邊OA、OB上的定點，P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，當MP＋PQ＋QN最小時，則關于∠1、∠2的數量關系正確的是（ ）

A.∠1＋∠2＝90°B.2∠2－∠1＝30°

C.2∠1＋∠2＝180°D.∠1－∠2＝90°

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，根據軸對稱可得∠OPM=∠OPM′，根據對頂角相等可得∠OPM′=∠QPN，根據三角形的外角的性質可得∠OPM=∠1∠O=∠130°，由此可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)，與此類似可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根據三角形的內角和定理可求得∠1∠2=90°.

如圖,作M關于OB的對稱點M′,N關于OA的對稱點N′,連接M′N′交OA于Q，交OB于P，

則MP+PQ+QN最小，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠OPM=∠1∠O=∠130°，

∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，

∴∠OPM=∠QPN=∠130°，

∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)

∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2,

∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA

∴∠OQP==∠3=30°+∠2,

∴∠130°+∠2=2(30°+∠2)，

在△MQP 中，

∠1+∠OQP+∠QPM=180°，

即∠1+30°+∠2+180°-2(∠130°)=180°，

化簡得∠1∠2=90°.

故選D.