精英家教網(wǎng)如圖,以AB為直徑作半圓與直角梯形ABED另一腰DE相切于C點(diǎn),再分別以AC、BC、
AD、CD、CE、BE為直徑作半圓.若AC=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積和為
 
分析:先取AB的中點(diǎn)O,連接OC,由勾股定理求出AB的長(zhǎng),再根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出OC是梯形ABED的中位線,求出OC的長(zhǎng),根據(jù)直角梯形的性質(zhì)及勾股定理求出CE的長(zhǎng),進(jìn)而求出梯形的高,再根據(jù)勾股定理及圓的面積公式得出S陰影=S梯形ABED-S△ABC,再把相應(yīng)的數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:取AB的中點(diǎn)O,連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC=3,BC=4,
∴AB=
AC2+BC2
=
32+42
=5,
∵DE是⊙O的切線,
∴OC⊥DE,
∵梯形ABED是直角梯形,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴OC是梯形ABED的中位線,
∴CD=CE,
AD+BE
2
=OC,
∴OA=OC=
AB
2
=
5
2

∵梯形ABED是直角梯形,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴AC2-AD2=BC2-BE2,即32-(2OC-BE)2=42-BE2,即32-(5-BE)2=42-BE2,解得BE=3.2,
∴CD=CE=
BC2-BE2
=
42-3.22
=
12
5
,
∴DE=2CE=2×
12
5
=
24
5
,
∵△ACD是直角三角形,
∴AC2=AD2+CD2
∴(
AC
2
2=(
CD
2
2+(
AD
2
2,
即以AC為半徑的圓的半圓的面積等于以CD為半徑的半圓與以AD為半徑的半圓面積的和,
∴以CD為半徑的半圓陰影部分與以AD為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△ACD的面積,
同理可得,以BE為半徑的半圓陰影部分與以CE為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△CBE的面積,
∴S陰影=S梯形ABED-S△ABC=
(AD+BE)×DE
2
-
1
2
AC×BC=OC×DE-
1
2
AC×BC=2.5×
24
5
-
1
2
×3×4=6.
故答案為:6.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理及直角梯形的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線,構(gòu)造出梯形的中位線,再根據(jù)中位線的性質(zhì)進(jìn)行解答.
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已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),頂點(diǎn)C(1,-4),與x軸交于A、B兩點(diǎn),A(-1,0).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)如圖,以AB為直徑作圓,與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A、D、B、E,點(diǎn)Q為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(Q與A、B兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AE于F,QG⊥DB于G,請(qǐng)判斷
QF
BE
+
QG
AD
是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)H是線段EQ上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)H作MN⊥EQ,MN分別與邊AE、BE相交于M、N,(M與A、E不重合,N與E、B不重合),請(qǐng)判斷
QA
QB
=
EM
EN
是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,精英家教網(wǎng)請(qǐng)說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),頂點(diǎn)C(1,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn),A(-1,0).
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(2)如圖,以AB為直徑作圓,與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A,D,B,E,點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,請(qǐng)判斷
PM
BE
+
PN
AD
是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP,F(xiàn)G分別與邊AE,BE相交于點(diǎn)F,G(F與A,E不重合,G與E,B不重合),請(qǐng)判斷
PA
PB
=
EF
EG
是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),頂點(diǎn)C(1,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn),A(-1,0).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)如圖,以AB為直徑作圓,與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A,D,B,E,點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,請(qǐng)判斷數(shù)學(xué)公式是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP,F(xiàn)G分別與邊AE,BE相交于點(diǎn)F,G(F與A,E不重合,G與E,B不重合),請(qǐng)判斷數(shù)學(xué)公式是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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