精英家教網(wǎng)已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),頂點(diǎn)C(1,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn),A(-1,0).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)如圖,以AB為直徑作圓,與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E,依次連接A,D,B,E,點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,請(qǐng)判斷
PM
BE
+
PN
AD
是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP,F(xiàn)G分別與邊AE,BE相交于點(diǎn)F,G(F與A,E不重合,G與E,B不重合),請(qǐng)判斷
PA
PB
=
EF
EG
是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)就可以利用頂點(diǎn)式求函數(shù)的解析式.
(2)AB是圓的直徑,因而∠ADB=∠AEB=90°,得到PN∥AD,得到
PN
AD
=
BP
AB
,同理
PM
BE
=
AP
AB
,這樣就可以求出
PM
BE
+
PN
AD
的值.
(3)易證△AEB為等腰直角三角形,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE與H,四邊形PHEM是矩形,易證△APM∽△PBH,則
PA
PB
=
PM
PH
=
PM
ME
,再證明△MEP∽△EGF,則
PM
ME
=
EF
EG
因而
PA
PB
=
EF
EG
可證.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-3(1分)
將A(-1,0)代入:0=a(-1-1)2-3,
解得a=
3
4
(2分)
所以,拋物線的解析式為y=
3
4
(x-1)2-3,即y=
3
4
x2-
3
2
x-
9
4
(3分)

(2)是定值,
PM
BE
+
PN
AD
=1(4分)
∵AB為直徑,
∴∠AEB=90°,
∵PM⊥AE,
∴PM∥BE,
∴△APM∽△ABE,
所以
PM
BE
=
AP
AB

同理:
PN
AD
=
PB
AB
②(5分)
①+②:
PM
BE
+
PN
AD
=
AP
AB
+
PB
AB
=1
(6分)

(3)∵直線EC為拋物線對(duì)稱(chēng)軸,
∴EC垂直平分AB,精英家教網(wǎng)
∴EA=EB,
∵∠AEB=90°,
∴△AEB為等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠EBA=45°(7分)
如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四邊形PHEM是矩形.
∴PH=ME且PH∥ME.
在△APM和△PBH中,
∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
∴PH=BH,且△APM∽△PBH,
PA
PB
=
PM
BH

PA
PB
=
PM
PH
=
PM
ME
①(8分)
在△MEP和△EGF中,
∵PE⊥FG,
∴∠FGE+∠SEG=90°,
∵∠MEP+∠SEG=90°,
∴∠FGE=∠MEP,
∵∠PME=∠FEG=90°,
∴△MEP∽△EGF,
PM
ME
=
EF
EG

由①、②知:
PA
PB
=
EF
EG
(9分)(本題若按分類(lèi)證明,只要合理,可給滿(mǎn)分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否精英家教網(wǎng)存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿(mǎn)足如下關(guān)系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,過(guò)A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)k,使線段A1B1的長(zhǎng)為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•貴陽(yáng))已知:直線y=ax+b過(guò)拋物線y=-x2-2x+3的頂點(diǎn)P,如圖所示.
(1)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(-1,4)
(-1,4)
;
(2)若直線y=ax+b經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)A(0,11),求出該直線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng),求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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