【題目】已知:如圖,在△ABC中,點D是BC的中點,過點D作直線交AB,CA的延長線于點E,F(xiàn).當(dāng)BE=CF時,求證:AE=AF.

【答案】證明:過點B作BG∥FC,延長FD交BG于點G.

∴∠G=∠F.
∵點D是BC的中點,
∴BD=CD.
在△BDG和△CDF中,

∴△BDG≌△CDF(AAS).
∴BG=CF.
∵BE=CF,
∴BE=BG.
∴∠G=∠BEG.
∵∠BEG=∠AEF,
∴∠G=∠AEF.
∴∠F=∠AEF.
∴AE=AF.
【解析】過點B作BG∥FC,延長FD交BG于點G.由平行線的性質(zhì)可得∠G=∠F,然后判定△BDG和△CDF全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量代換得到BE=BG,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠G=∠BEG,由對頂角相等及等量代換得出∠F=∠AEF,根據(jù)等腰三角形的判定得出AE=AF.
【考點精析】掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.

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①求證:∠FEA=∠FCA;
②猜想線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論:
(2)當(dāng)60°<∠BAC<120°,且△ACE與△ABC在直線AC的同側(cè)時,利用圖2畫出圖形探究線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出你的結(jié)論.

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