Question

如圖，已知點（1，3）在函數y=

k

x

（x＞0）的圖象上，矩形ABCD 的邊BC在x軸上，E是對角線AC、BD的交點，函數y=

k

x

（k＞0）的圖象又經過A、E兩點，請解答下列問題：
（1）求k的值；
（2）如果點E的橫坐標為3，求點C的橫坐標；
（3）如果點E的橫坐標為m，且∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）將點（1，3）代入反比例函數關系式，可得出k的值；
（2）過點E作EF⊥BC于點F，根據點E的橫坐標為3，可得EF=1，OF=3，由矩形的性質可得AB=2EF=2，求出OB，可得出BF、CF，繼而得出點C的橫坐標．
（3）根據（2）的思路求出BC的長度，由AB=BC建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）將點（1，3）代入y=

k

x

（k＞0），可得：3=

k

1

，
解得：k=3．
故k的值為3．

（2）過點E作EF⊥BC于點F，
∵點E的橫坐標為3，點E在反比例函數y=

3

x

上，
∴EF=1，OF=3，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=2，即點A的縱坐標為2，
∴OB=

3

2

，
∴BF=CF=OF-OB=

3

2

，
∴OC=OF+CF=3+

3

2

=

9

2

，
即點C的橫坐標為

9

2

．

（3）∵點E的橫坐標為m，點E在反比例函數y=

3

x

上，
∴EF=

3

m

，OF=m，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=

6

m

，即點A的縱坐標為

6

m

，
∴OB=

m

2

，
∴BF=CF=OF-OB=m-

m

2

=

m

2

，
∴BC=m，
又∵∠ABD=45°，
∴AB=AD=BC，即

6

m

=m，
解得：m₁=

6

，m₂=-

6

（舍去）．
故m的值為

6

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合，涉及了矩形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特點、待定系數法求反比例函數解析式的知識，綜合考察的知識點較多，解答本題關鍵是數形結合思想及方程思想的綜合運用．