Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=a（x+）（x﹣3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－4．

（1）求出二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，若過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖2，連結(jié)BC，在直線BC下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E，求△BCE面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-3；（2）P(,-2)；（3）

【解析】

（1）由二次函數(shù)y=a（x+）（x﹣3）可求出A,B的坐標(biāo)分別為（-，0），（3，0），從而求出二次函數(shù)y=a（x+）（x﹣3）的對(duì)稱軸為x=，所點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-4），把點(diǎn)M（，-4）代入y=a（x+）（x﹣3）即可求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式.

（2）如圖1，依題意可知，MN即為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以連接BC，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，先求直線BC的解析式，再令x=,求出對(duì)應(yīng)的y的值即可.

（3）如圖2所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,則△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△BEF的面積-△BCO的面積，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x, x2-x-3）,因?yàn)辄c(diǎn)E在BC下方，所以x的取值范圍是0<x<3,根據(jù)等量關(guān)系式列式求解即可.

解：（1）依題意得：

A（-，0），B（3，0），

∴二次函數(shù)y=a（x+）（x﹣3）的對(duì)稱軸為x=，

∵頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－4

∴M（，-4）.

∴-4=a(+）（﹣3）

解得：a=.

∴二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3；

（2）如圖所示，

由于A,C在MN的同側(cè)，要在MN上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，先找到A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B，再連接BC，BC與MN相交于點(diǎn) P，此時(shí)P即為所求.

由（1）可知二次函數(shù)解析式為y=x2-x-3；B（3，0），

令x=0，則y=-3,故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則地

解得：

∴直線BC的解析式為y=x-3.

令x=，則y=-3=-2.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,-2)；

（3）如圖2所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F, 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x, x2-x-3）,因?yàn)辄c(diǎn)E在BC下方，所以x的取值范圍是0<x<3,

∴OF=x,EF=-x2+x+3,BF=<3-x.

∵OC=3,

∴△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△BEF的面積-△BCO的面積

= (3-x2+x+3)x+ (-x2+x+3)( <3-x)- <33

= - + ++(- )+3x+ +---

= +(- )

=- +

∴當(dāng)x= 時(shí)，△BCE的面積有最大值為.