Question

【題目】正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，點F在CD上，且CF＝BE，AE與BF交于G點．

（1）如圖1，求證：①AE＝BF，②AE⊥BF．

（2）連接CG并延長交AB于點H，

①若點E為BC的中點（如圖2），求BH的長；

②若點E在BC的邊上滑動（不與B、C重合），當CG取得最小值時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析;②見解析;（2）①BH＝；②2﹣2．

【解析】

（1）①由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，由SAS證明△ABE≌△BCF，即可得出結論；

②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE＝∠CBF，證出∠AGB＝90°，即可得出結論；

（2）①由直角三角形的性質(zhì)得出CF＝BE＝BC＝2，由勾股定理得出BF＝2，由（1）得：AE⊥BF，則∠BGE＝∠ABE＝90°，證明△BEG∽△AEB，得出 ＝，設GE＝x，則BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG＝2× ，由平行線得出 ，即可得出BH的長；

②由（1）得：∠AGB＝90°，得出點G在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為M，當C、G、M在同一直線上時，CG為最小值，求出GM＝AB＝BM＝2，由平行線得出 ＝1，證出CF＝CG＝BE，設CF＝CG＝BE＝a，則CM＝a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，

在△ABE和△BCF中， ，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF；

②由①得：△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AGB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：①如圖2所示：

∵E為BC的中點，

∴CF＝BE＝BC＝2，

∴BF ，

由（1）得：AE⊥BF，

∴∠BGE＝∠ABE＝90°，

∵∠BEG＝∠AEB，

∴△BEG∽△AEB，

∴ ，

設GE＝x，則BG＝2x，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22，

解得：x＝ ，

∴BG＝2× ，

∵AB∥CD，

∴ ，即 ，

解得：BH＝；

②由（1）得：∠AGB＝90°，

∴點G在以AB為直徑的圓上，

設AB的中點為M，

由圖形可知：當C、G、M在同一直線上時，CG為最小值，如圖3所示：

∵AE⊥BF，

∴∠AGB＝90°，

∴GM＝AB＝BM＝2，

∵AB∥CD，

∴ ＝1，

∴CF＝CG，

∵CF＝BE，

∴CF＝CG＝BE，

設CF＝CG＝BE＝a，則CM＝a+2，

在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2，

解得：a＝2﹣2，即

當CG取得最小值時，BE的長為2﹣2．