【題目】已知:拋物線經過坐標原點.
(1)求拋物線的解析式和頂點B的坐標;
(2)設點A是拋物線與x軸的另一個交點且A、C兩點關于y軸對稱,試在y軸上確定一點P,使PA+PB最短,并求出點P的坐標;
(3)過點A作AD∥BP交y軸于點D,求到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標.
【答案】(1)拋物線的解析式是y=﹣x2+2x,頂點B的坐標是(,3);(2)點P的坐標是(0,2);(3)到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是(0,0)和(2,2).
【解析】
(1)根據拋物線經過原點求出k的值,即可求出解析式,在求頂點坐標即可;
(2)先找出P的位置,再求直線BC的解析式,再求點P的坐標即可;
(3)先求得y軸是∠APC的角平分線,x軸是∠DAP的角平分線,交點符合要求,∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點M也符合要求.
解:(1)∵拋物線經過坐標原點,
∴k2+k=0,
解得:k=0(舍去),k=﹣1,
∴拋物線的解析式是y=﹣x2+2x,
∴y=﹣x2+2x,
=﹣(x﹣)2+3,
∴頂點B的坐標是(,3),
答:拋物線的解析式是y=﹣x2+2x,頂點B的坐標是(,3);
(2)當y=0時﹣x2+2x=0,
解得:x1=0,x2=2,
∴A的坐標是(2,0),
A關于y軸的對稱點C的坐標是C(﹣2,0),
設直線BC的解析式是y=kx+b,
把B(,3),C(﹣2,0)代入得:,
解得:,
∴直線BC的解析式是y=x+2,
當x=0時,y=2,
∴點P的坐標是(0,2),
答:點P的坐標是(0,2).
(3)∵A、C關于y軸對稱,P在Y軸上,
∴AP=CP,
∵∠CAP=∠ACP,x軸⊥y軸,
∴y軸是∠APC的角平分線,
即y軸上任意一點到AP、CP的距離都相等,
∵AD∥PC,
∴∠DAC=∠ACP,
∴∠DAC=∠CAP,
∴x軸是∠DAP的角平分線,
即x軸上任意一點到AP、AD的距離都相等,
∴x軸與y軸的交點O到AP、AD、CP距離相等,
∴點的坐標是(0,0),
如圖,
∠DAP的外角∠EAP的平分線和∠CPA的外角∠FPA的平分線的交點M也符合要求,
根據作圖條件能得到矩形MAOP,
即點M的坐標是(2,2),
到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是(0,0)和(2,2),
答:到直線AP、AD、CP距離相等的點的坐標是(0,0)和(2,2).
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【題目】如圖1,四邊形ABCD內接于圓O,AC是圓O的直徑,過點A的切線與CD的延長線相交于點P.且∠APC=∠BCP.
(1)求證:∠BAC=2∠ACD.
(2)過圖1中的點D作DE⊥AC于E,交BC于G(如圖2),BG:GE=3:5,OE=5,求⊙O的半徑.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線經過原點,交軸正半軸于點,頂點為,對稱軸交軸于點.
(1)如圖1,求點的坐標;
(2)如圖2,點為拋物線在第一象限上一點,連接交對稱軸于點,設點的橫坐標為,的長為,求與之間的函數解析式,不要求寫出自變量的取值范圍;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點為上一點,連接,點為上一點,連接,,,若,求點橫坐標的值.
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【題目】為了了解青少年形體情況,現(xiàn)隨機抽查了某市若十名初中學生坐必、站姿.走安的好壞情況我們對測評數據作了適當處理(如果一個學生有一種以上:不良姿勢.以他最突出的一種作記載) ,并將統(tǒng)計結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據圖中所給信息解答下列問題:
求這次抽查一共抽查了多少名學生;
請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
如果全市有萬名初中生,那么全市初中生中,三姿良好的學生約有多少名
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)用直尺和圓規(guī)作出對角線AC的垂直平分線,分別交AD,BC于E,F;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)作出的圖形中,連接CE,AF,若AB=4,BC=8,且AB⊥AC,求四邊形AECF的周長.
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【題目】如圖,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= (x>0)的圖象交于點P(n,2),與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,PB丄x軸于點B,點A與點B關于y軸對稱.
(1)求一次函數、反比例函數的解析式;
(2)求證:點C為線段AP的中點;
(3)反比例函數圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形,如果存在,說明理由并求出點D的坐標;如果不存在,說明理由.
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【題目】某校九年級開展征文活動,征文主題只能從“愛國”“敬業(yè)”“誠信”“友善”四個主題中選擇一個,九年級每名學生按要求都上交了一份征文,學校為了解選擇各種征文主題的學生人數,隨機抽取了部分征文進行了調查,根據調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)求本次調查共抽取了多少名學生的征文;
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)本次抽取的3份以“誠信”為主題的征文分別是小義、小玉和大力的,若從中隨機選取2份以“誠信”為主題的征文進行交流,請用畫樹狀圖法或列表法求小義和小玉同學的征文同時被選中的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于點D,BD=8cm.點M從點A出發(fā),沿AC的方向勻速運動,同時直線PQ由點B出發(fā),沿BA的方向勻速運動,運動過程中始終保持PQ∥AC,直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F.連接PM,設運動時間為t秒(0<t≤5).線段CM的長度記作y甲,線段BP的長度記作y乙,y甲和y乙關于時間t的函數變化情況如圖所示.
(1)由圖2可知,點M的運動速度是每秒 cm;當t= 秒時,四邊形PQCM是平行四邊形?在圖2中反映這一情況的點是 (并寫出此點的坐標);
(2)設四邊形PQCM的面積為ycm2,求y與t之間的函數關系式;
(3)連接PC,是否存在某一時刻t,使點M在線段PC的垂直平分線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
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