Question

如圖①，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，且

OA

OC

=

1

3

，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，D為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連接DP交BC于點(diǎn)E．
（1）寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）連接PC、PB（如圖②），△PBC是否有最大面積？若有，求出△PBC的最大面積和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；
（2）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論，即可解決；
（3）求出△PBC的最大面積，可以聯(lián)系二次函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，解得a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）E₁（2，-1），E₂（3-

2

， -

2

），E₃（1，-2）．

（3）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)△PBC的面積為S，則
S=S_{四邊形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=

1

2

（3-n）m+

1

2

（3-m）（-n）-

1

2

×3×3，
=

3

2

m-

3

2

n-

9

2

，
又∵點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-

3

2

m2+

9

2

m
=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為

27

8

，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

2

， -

15

4

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)最值問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)．