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【題目】已知,如圖①,△ABC、△AED是兩個全等的等腰直角三角形(其頂點B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O為BC的中點,F為AD的中點,連接OF.

(1)問題發(fā)現
①如圖①,線段OF與EC的數量關系為;
②將△AED繞點A逆時針旋轉45°,如圖②,OF與EC的數量關系為;

(2)類比延伸
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉到如圖③所示的位置,請判斷線段OF與EC的數量關系,并給出證明.

(3)拓展探究
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉,旋轉角為α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋轉過程中,存在△ACD為直角三角形,請直接寫出線段CD的長.

【答案】
(1)OF= EC;OF= EC
(2)

解:OF= EC.

證明:在等腰直角△ADE中,F為AD的中點,

∴AF= AD= AE,

在等腰直角△ABC中,O為BC的中點,

如圖1,

連接AO,

∴AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,

∵∠DAE=45°,

∴∠DAE=∠CAO,

∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,

即∠DAO=∠CAE,

∵AE=AC,

∴AF=AO,

= ,

∴△AFO∽△AEC,

= = ,

∴OF= EC,


(3)

解:∵△ABC和△AED是兩個全等的等腰直角三角形,

∴AD=BC= ,

∴ED=AE=AB=AC=1,

△ACD為直角三角形時,分兩種情況:

①當AD與AB重合時,如圖2,

連接CD,

∵△ACD為直角三角形,AD⊥AC,

即將△ADE逆時針旋轉45°,

∵AD= ,AC=1,

∴由勾股定理可得CD= =

②當AE與AC重合時,如圖3,

△ACD為直角三角形,AC⊥CD,

即將△ADE逆時針旋轉90°,此時CD=AC=1.

即:CD的長為 或1.


【解析】解:(1)①∵△ABC、△AED是兩個全等的等腰直角三角形,
∴AD=BC,
∵O為BC的中點,F為AD的中點,
∴AF=OC,
∵∠BAC=∠AED=90°,
∴AD∥BC,
∴四邊形AFOC是平行四邊形,
∴OF=AC= EC,
故答案:OF= EC;②如圖,

∵AO= AC,∠BAO=∠CAO=45°,
∵∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠CAO,
∴∠DAE﹣∠EAO=∠CAO﹣∠EAO,
即∠DAO=∠CAE,
∵AE=AC,
∴AF=AO,
= ,
∴△AFO∽△AEC,
= =
∴OF= EC,
故答案OF= EC
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識,掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構造相似三角形求解.

練習冊系列答案
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x表示________________________,y表示_________________________

⑵如果乙同學直接設A工程隊整治河道的米數為x,B工程隊整治河道的米數為y,列出了一個方程組,求A、B兩工程隊分別整治河道多少米.請你幫助他寫出完整的解答過程。

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