【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,A、B坐標為(6,0)、(0,6),P為線段AB上的一點
(1) 如圖1,若S△AOP=12,求P的坐標
(2) 如圖2,若P為AB的中點,點M、N分別是OA、OB邊上的動點,點M從頂點A、點N從頂點O同時出發(fā),且它們的速度都為1 cm/s,則在M、N運動的過程中,線段PM、PN之間有何關系?并證明
(3) 如圖3,若P為線段AB上異于A、B的任意一點,過B點作BD⊥OP,交OP、OA分別與F、D兩點,E為OA上一點,且∠PEA=∠BDO,試判斷線段OD與AE的數量關系,并說明理由
【答案】(1)P(2,4);(2)PM=PN,PM⊥PN,理由見解析;(3)OD=AE,理由見解析
【解析】試題分析:(1)如圖1中,作PH⊥OA于H.線求出直線AB的解析式,利用面積構建方程求出PH即可解決問題;
(2)結論:PM=PN,PM⊥PN.連接OP.只要證明△PON≌△PAM即可解決問題;
(3)結論:OD=AE.如圖3中,作AG⊥x軸交OP的延長線于G.由△DBO≌△GOA,推出OD=AG,∠BDO=∠G,再證明△PAE≌△PAG即可解決問題;
試題解析:解:(1)如圖1中,作PH⊥OA于H.
∵A(6,0),B(0,6),∴直線AB的解析式為y=﹣x+6.∵ OAPH=12,∴PH=4,當y=4時,4=﹣x+6,∴x=2,∴P(2,4).
(2)結論:PM=PN,PM⊥PN.證明如下:
如圖2中,連接OP.
∵OB=OA,∠AOB=90°,PB=PA,∴OP=PB=PA,OP⊥AB,∠PON=∠A=45°,∴∠OPA=90°.
∵AM=ON,OP=OP,∴△PON≌△PAM,∴PN=PM,∠OPN=∠APM,∴∠NPM=∠OPA=90°,
∴PM⊥PN,PM=PN.
(3)結論:OD=AE.理由如下:
如圖3中,作AG⊥x軸交OP的延長線于G.
∵BD⊥OP,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°,∴∠AOG=∠DBO,∵OB=OA,∴△DBO≌△GOA,∴OD=AG,∠BDO=∠G.∵∠BDO=∠PEA,∴∠G=∠AEP.∵∠PAE=∠PAG=45°,PA=PA,∴△PAE≌△PAG,∴AE=AG,∴OD=AE.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的頂點A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1),規(guī)定“平行四邊形ABCD先沿x軸翻折,再向左平移1個單位”為一次變換,則連續(xù)經過2017次變換后,平行四邊形ABCD的對角線的交點M的坐標為( )
A.(﹣2017,2)
B.(﹣2017,﹣2)
C.(﹣2018,﹣2)
D.(﹣2018,2)
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【題目】為了響應“足球進校園”的目標,某校計劃為學校足球隊購買一批足球,已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元;購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元.
(1)求A,B兩種品牌的足球的單價.
(2)求該校購買20個A品牌的足球和2個B品牌的足球的總費用.
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【題目】已知,如圖①,△ABC、△AED是兩個全等的等腰直角三角形(其頂點B、E重合),∠BAC=∠AED=90°,O為BC的中點,F為AD的中點,連接OF.
(1)問題發(fā)現
①如圖①,線段OF與EC的數量關系為;
②將△AED繞點A逆時針旋轉45°,如圖②,OF與EC的數量關系為;
(2)類比延伸
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉到如圖③所示的位置,請判斷線段OF與EC的數量關系,并給出證明.
(3)拓展探究
將圖①中△AED繞點A逆時針旋轉,旋轉角為α,0°≤α≤90°,AD= ,△AED在旋轉過程中,存在△ACD為直角三角形,請直接寫出線段CD的長.
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【題目】如圖,長方形ABCD中,AB=6,第一次平移長方形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位,得到長方形A1B1C1D1,第2次平移將長方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位,得到長方形A2B2C2D2…,第n次平移將長方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5個單位,得到長方形AnBnCnDn(n>2),若ABn的長度為56,則n=_.
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【題目】如圖①,E是直線AB,CD內部一點,AB∥CD,連接EA,ED.
(1)探究猜想:
①若∠A=20°,∠D=40°,則∠AED= °
②猜想圖①中∠AED,∠EAB,∠EDC的關系,并用兩種不同的方法證明你的結論.
(2)拓展應用:
如圖②,射線FE與l1,l2交于分別交于點E、F,AB∥CD,a,b,c,d分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域(不含邊界,其中區(qū)域a,b位于直線AB上方,P是位于以上四個區(qū)域上的點,猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的關系(任寫出兩種,可直接寫答案).
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【題目】如圖,在正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)ABC的頂點A、C的坐標分別為A(-4,5),C(-1,3).
(1)請在網格平面內作出平面直角坐標系(不寫作法);
(2)請作出△ABC關于y軸對稱△A'B'C';
(3)分別寫出A'、B'、C'的坐標.
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【題目】解不等式組
請結合題意填空,完成本題的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來:
(Ⅳ)原不等式組的解集為 .
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