【題目】如圖,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2﹣2mx(m>1)與x軸的另一個交點(diǎn)為A.過點(diǎn)P(﹣1,m)作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)B,BC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)m=2時(shí).
①求線段BC的長及直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②若動點(diǎn)Q在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動,求點(diǎn)Q在何處時(shí),△QAB的面積最大?
③若點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上,且PF=PC,請直接寫出符合條件的點(diǎn)F在坐標(biāo);
(2)當(dāng)m>1時(shí),連接CA、CP,問m為何值時(shí),CA⊥CP?
【答案】(1)①直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4;
②當(dāng)a=-時(shí),△QAB的面積最大,此時(shí)Q的坐標(biāo)為(-,);
③符合條件的點(diǎn)F坐標(biāo)為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,0),F(xiàn)3(0,4);
(2)m=.
【解析】
試題分析:(1)①將m=2代入y=﹣x2﹣2mx,得出y=﹣x2﹣4x,求出A(﹣4,0),B(﹣1,3),由B、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=﹣x2﹣4x的對稱軸x=﹣2對稱,得出BC=2,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②過點(diǎn)Q作QE∥y軸,交AB于點(diǎn)E,設(shè)Q(a,﹣a2﹣4a),則E(a,a+4),QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4,由S△QAB=QEAD求出S△QAB=﹣(a+)2+,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
③分兩種情況進(jìn)行討論:若點(diǎn)F在x軸上,設(shè)F(x,0).根據(jù)PF=PC列出方程,解方程得到F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,0);若點(diǎn)F在y軸上,設(shè)F(0,y),根據(jù)PF=PC列出方程,解方程得到F3(0,4),F(xiàn)4(0,0)與F2(0,0)重合;
(2)過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.先求出PB=m﹣1,BC=2(m﹣1),CH=2m﹣1,AH=1,再證明△ACH∽△PCB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出,即,解方程可求出m的值.
試題解析:(1)①當(dāng)m=2時(shí),y=﹣x2﹣4x,
令y=0,得﹣x2﹣4x=0,
解得x1=0,x2=﹣4,
則A(﹣4,0).
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=3,
則B(﹣1,3).
∵拋物線y=﹣x2﹣4x的對稱軸為直線x=﹣2,
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=﹣2對稱,
∴C(﹣3,3),BC=2.
設(shè)直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.
∵A(﹣4,0)、B(﹣1,3)在直線AB上,
∴,解得
∴直線AB所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4;
②過點(diǎn)Q作QE∥y軸,交AB于點(diǎn)E(如圖1).
由題意可設(shè)Q(a,﹣a2﹣4a),則E(a,a+4),
∴QE=(﹣a2﹣4a)﹣(a+4)=﹣a2﹣5a﹣4.
∴S△QAB=QEAD=×(﹣a2﹣5a﹣4)×3=﹣(a+)2+,
∴當(dāng)a=-時(shí),△QAB的面積最,此時(shí)Q的坐標(biāo)為(-,);
③分兩種情況:
若點(diǎn)F在x軸上,設(shè)F(x,0).
∵PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),
∴(x+1)2+(2﹣0)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2,
整理,得x2+2x=0,
解得x1=﹣2,x2=0,
∴F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,0);
若點(diǎn)F在y軸上,設(shè)F(0,y).
∵PF=PC,P(﹣1,2),C(﹣3,3),
∴(0+1)2+(y﹣2)2=(﹣3+1)2+(3﹣2)2,
整理,得y2﹣4y=0,
解得y1=4,y2=0,
∴F3(0,4),F(xiàn)4(0,0)與F2(0,0)重合;
綜上所述,符合條件的點(diǎn)F坐標(biāo)為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(0,0),F(xiàn)3(0,4);
(2)過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H(如圖2).∵P(﹣1,m),B(﹣1,2m﹣1),
∴PB=m﹣1.∵拋物線y=﹣x2﹣2mx的對稱軸為直線x=﹣m,其中m>1,
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=﹣m對稱,∴BC=2(m﹣1),
∴C(1﹣2m,2m﹣1),H(1﹣2m,0),∴CH=2m﹣1,∵A(﹣2m,0),∴AH=1.
由已知,得∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB.又∵∠AHC=∠PBC=90°,
∴△ACH∽△PCB,∴,即,∴m=.
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