【題目】已知:Rt△ABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中,使其斜邊AB與x軸重合(其中OA<OB),直角頂點C落在y軸正半軸上(如圖1).
(1)求線段OA,OB的長和經(jīng)過點A,B,C的拋物線的關(guān)系式.
(2)如圖2,點D的坐標為(2,0),點P(m,n)是該拋物線上的一個動點(其中m>0,n>0),連接DP交BC于點E.
①當△BDE是等腰三角形時,直接寫出此時點E的坐標.
②又連接CD、CP(如圖3),△CDP是否有最大面積?若有,求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標;若沒有,請說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)OA的長為x,則OB=5﹣x;
∵OC=2,AB=5,∠BOC=∠AOC=90°,∠OAC=∠OCB;
∴△AOC∽△COB,∴OC2=OAOB
∴22=x(5﹣x)
解得:x1=1,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=1,OB=4;
∴點A、B、C的坐標分別是:A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2);
方法一:設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式為:y=ax2+bx+2,
將A、B、C三點的坐標代入得
解得:a= ,b= ,c=2
所以這個二次函數(shù)的表達式為:
方法二:設(shè)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式為:y=a(x+1)(x﹣4)
將C點的坐標代入得:a=
所以這個二次函數(shù)的表達式為:
(2)解:①當△BDE是等腰三角形時,點E的坐標分別是: , , .
②如圖1,連接OP,
S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD
= =m+n﹣2
= =
∴當m= 時,△CDP的面積最大.此時P點的坐標為( , ),
S△CDP的最大值是 .
另解:如圖2、圖3,過點P作PF⊥x軸于點F,則
S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP
= =m+n﹣2
= =
∴當m= 時,△CDP的面積最大.此時P點的坐標為( , ),
S△CDP的最大值是
【解析】(1)利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例可列出比例式,構(gòu)建方程;求出A、B、C坐標代入解析式即可 ;(2)△BDE是等腰三角形可分為三類:BD=BE或DB=DE或EB=ED;(3)最值問題的基本解決辦法是函數(shù)思想,用m的代數(shù)式表示面積,通過P向x軸作垂線,構(gòu)造梯形,作差法表示三角形面積,構(gòu)建函數(shù),利用配方法求出最值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校要從甲、乙兩個跳遠運動員中選一人參加一項比賽,在最近的10次選撥賽中,他們的成績單位:如下:
甲:585,596,610,598,612,597,604,600,613,601
乙:613,618,580,574,618,593,585,590,598,624
分別求甲、乙的平均成績;
分別求甲、乙這十次成績的方差;
這兩名運動員的運動成績各有什么特點?歷屆比賽成績表明,成績達到就很可能奪冠你認為應(yīng)選誰參加比賽?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市開展一項自行車旅游活動,線路需經(jīng)A,B,C,D四地,如圖,其中A,B,C三地在同一直線上,D地在A地北偏東30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏東75°方向.且BC=CD=20km,問沿上述線路從A地到D地的路程大約是多少?(最后結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.25,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27, )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次實驗中,小明把一根彈簧的上端固定,在其下端懸掛物體,下表是測得的彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量的幾組對應(yīng)值:
(1)上述表格反映了兩個變量之間的關(guān)系,哪個是自變量?哪個是因變量?
(2)寫出彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的關(guān)系式;
(3)若彈簧的長度為30cm時,此進所掛重物的質(zhì)量是多少?(在彈簧的允許范圍內(nèi))
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【題目】如圖(1),AB∥CD,猜想∠BPD與∠B.∠D的關(guān)系,說明理由.(提示:三角形的內(nèi)角和等于180°)
①填空或填寫理由
解:猜想∠BPD+∠B+∠D=360°
理由:過點P作EF∥AB,
∴∠B+∠BPE=180°______
∵AB∥CD,EF∥AB,
∴______∥_____,(如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)
∴∠EPD+______=180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
②依照上面的解題方法,觀察圖(2),已知AB∥CD,猜想圖中的∠BPD與∠B.∠D的關(guān)系,并說明理由.
③觀察圖(3)和(4),已知AB∥CD,直接寫出圖中的∠BPD與∠B.∠D的關(guān)系,不說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,△ABC三個頂點的坐標分別為A(﹣1,2),B(﹣4,5),C(﹣3,0).將△ABC向右平移5個單位長度,再向下平移2個單位長度,得到△A'B'C',其中點A',B',分別為點A,B,C的對應(yīng)點.
(1)請在所給坐標系中畫出△A'B'C',并直接寫出點C'的坐標;
(2)若AB邊上一點P經(jīng)過上述平移后的對應(yīng)點為P'(x,y),用含x,y的式子表示點P的坐標;(直接寫出結(jié)果即可)
(3)求△A'B'C'的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正△ABC的邊長為2,E,F(xiàn),G分別是AB,BC,CA上的點,且AE=BF=CG,設(shè)△EFG的面積為y,AE的長為x,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的理念,堅持綠色發(fā)展,建設(shè)美麗家園,青年大學生小王準備在家鄉(xiāng)邊疆種植兩種樹木.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),A種樹木種植費用y(元)與 種植面積 x(m2)的函數(shù)表達式如圖所示,B種樹木的種植費用為400元/ m2.
(1)求y與x的函數(shù)表達式;
(2)A種樹木和 B 種樹木種植面積共 1500 m,若A種樹木種植面積不超過B種樹木種 植面積的2倍,且 A 種樹木種植面積不少于 400 m,應(yīng)該如何分配A種樹木和B種樹木的種植面積才能使得總費用最少?最少費用是多少?
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