【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在AC、BC邊上分別截取CD=CE,連結(jié)DE.將△DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)θ角,連結(jié)BE、AD.

(1)當(dāng)0°<θ<90°時,如圖②,直線BE交直線AD于點F.

①求證:△ACD≌△BCE.

②求證:AF⊥BE.

(2)當(dāng)0°<θ<360°,AC=5,CD=3,四邊形CDFE是正方形時,直接寫出AF的長度.

【答案】(1)證明見解析;(2)1.

【解析】

試題分析: (1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知,運用SAS證明即可;②由問題原型中的結(jié)論:△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB,結(jié)合等量代換進行求解即可;

(2)運用CD∥BE結(jié)合初步探究中的結(jié)論,可證CD⊥AF,結(jié)合勾股定理即可求解.

試題解析:(1)①如圖②,

∵△DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)θ角,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,

∴∠ACD=∠BCE=θ,

又∵AC=BC,CD=CE,

在△ACD和△BCE中,

,

∴△ACD≌△BCE;

②如圖②,設(shè)AF與BC交點于O,

∵△ACD≌△BCE,

∴∠DAC=∠EBC,

∵∠AOC=∠BOF,

∴∠BFO=∠ACB=90°,

∴AF⊥BE;

(2)如圖③,

∵AC=5,CD=3,四邊形CDFE是正方形時,

∵AD⊥CD,

∴AD=

∴AF=4+3=7,

如圖4,

∴AF=4﹣3=1.

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