Question

如圖，已知拋物線的方程C₁：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．
（1）若拋物線C₁過點(diǎn)M（2，2），求實(shí)數(shù)m的值；
（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；
（3）在（1）條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使BH+EH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo);
（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C₁上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，將M（2，2）代入拋物線解析式得：
2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得m=4．
（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，
解得x₁=﹣2，x₂=4，
∴B（﹣2，0），C（4，0）
在C₁中，令x=0，得y=2，
∴E（0，2）．
∴S_△BCE=BC·OE=6．
（3）當(dāng)m=4時(shí)，
易得對(duì)稱軸為x=1，
又點(diǎn)B、C關(guān)于x=1對(duì)稱．
如解答圖1，連接EC，交x=1于H點(diǎn)，
此時(shí)BH+CH最�。ㄗ钚≈禐榫�段CE的長度）．
設(shè)直線EC：y=kx+b，
將E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，
當(dāng)x=1時(shí)，y=，
∴H（1，）．
（4）分兩種情形討論：
①當(dāng)△BEC∽△BCF時(shí)，如解答圖2所示．
則，
∴BC²=BE·BF．
由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，
∴∠CBF=45°，
作FT⊥x軸于點(diǎn)F，
則BT=TF．
∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），
又點(diǎn)F在拋物線上，
∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∴x+2＞0（∵x＞0），
∴x=2m，F(xiàn)（2m，﹣2m﹣2）．
此時(shí)BF==（m+1），BE=，BC=m+2，
又BC²=BE·BF，
∴（m+2）²=·（m+1），
∴m=2±，
∵m＞0，
∴m=+2．
②當(dāng)△BEC∽△FCB時(shí)，如解答圖3所示．
則，
∴BC²=ECBF．
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，==，
∴可令F（x，-（x+2））（x＞0）
又點(diǎn)F在拋物線上，
∴-（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2，
∴F（m+2，-（m+2）），EC=，BC=m+2，
又BC²=ECBF，
∴（m+2）²=
整理得：m=16，顯然不成立．
綜合①②得，
在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似，
m=+2．