【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng);
(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,
①已知點(diǎn)P的速度為每秒5 cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.
②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為、 (單位:cm,≠0),已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂 點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求與滿足的數(shù)量關(guān)系式.
【答案】(1)證明見解析;AF=5cm.(2)t=,a+b=12(ab≠0).
【解析】
試題分析:(1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形,再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;根據(jù)勾股定理即可求得AF的長(zhǎng);
(2)①分情況討論可知,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可;
②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.
試題解析:(1)①∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足為O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四邊形AFCE為平行四邊形,
又∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE為菱形,
②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm,則BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8-x)2=x2,
解得x=5,
∴AF=5cm.
(2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;
同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形,也不能構(gòu)成平行四邊形.
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,
∴PC=5t,QA=CD+AD-4t=12-4t,即QA=12-4t,
∴5t=12-4t,
解得t=,
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),t=秒.
②由題意得,四邊形APCQ是平行四邊形時(shí),點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上.
分三種情況:
i)如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí),AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;
ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;
iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí),AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.
綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).
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【題目】一水果經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)了A,B兩種水果各10箱,分配給他的甲、乙兩個(gè)零售店(分別簡(jiǎn)稱甲店、乙店)銷售,預(yù)計(jì)每箱水果的盈利情況如下表:
A種水果/箱 | B種水果/箱 | |
甲店 | 11元 | 17元 |
乙店 | 9元 | 13元 |
(1)如果甲、乙兩店各配貨10箱,其中A種水果兩店各5箱,B種水果兩店各5箱,請(qǐng)你計(jì)算出經(jīng)銷商能盈利多少元?
(2)在甲、乙兩店各配貨10箱(按整箱配送),且保證乙店盈利不小于100元的條件下,請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使水果經(jīng)銷商盈利最大的配貨方案,并求出最大盈利為多少?
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(1)請(qǐng)列式表示廣場(chǎng)空地的面積;
(2)若休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為500米,寬為300米,圓形花壇的半徑為20米,求廣場(chǎng)空地的面積(計(jì)算結(jié)果保留).
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