Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2﹣x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E（m，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸，與拋物線y＝ax2﹣x+4交于點(diǎn)F，與直線AC交于點(diǎn)G．

（1）分別求拋物線y＝ax2﹣x+4和直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)﹣8＜m＜0時(shí)，求出使線段FG的長(zhǎng)度為最大值時(shí)m的值；

（3）如圖2，作射線OF與直線AC交于點(diǎn)P，請(qǐng)求出使FP：PO＝1：2時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）當(dāng)m＝﹣4時(shí)，FG有最大值，最大值為2；（3）m的值為﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的解析式求得A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式即可；

（2）由點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣+4），G（m， m+4），從而得到FG與m的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)配方法求得FG的最大值，以及m的取值即可；

（3）①先證明△PEG∽△POC，由相似三角形的性質(zhì)可求得FG＝2，由（2）可知此時(shí)m的取值；②如圖，當(dāng)G點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，證明△FGP∽△OCP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出此時(shí)m的取值．

（1）∵將B（4，0）代入拋物線的解析式得：16a﹣2+4＝0，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣．

∵令y＝0得；﹣x2﹣＝0，解得；x1＝﹣8，x2＝4，

∴A（﹣8，0）．

∵令x＝0得：y＝4，

∴C（0，4）．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b

∵將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得：，解得：k＝，b＝4，

∴直線AC的解析式為y＝．

（2）∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣+4），G（m， m+4）．

∴FG＝﹣m2﹣+4﹣（m+4）＝m2﹣m＝﹣（m+4）2+2．

∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，FG有最大值，最大值為2．

（3）①∵FG∥OC，

∴△PEG∽△POC．

∴．

∴時(shí)，FP：PO＝1：2．

∴．

∴FG＝2．

由（2）可知當(dāng)m＝﹣4時(shí)，FG有最大值，最大值為GF＝2．

∴m＝﹣4．

②如圖，當(dāng)G點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，

∵FG∥CO，

∴∠GFP＝∠COP，

∵∠FGP＝∠OPC，

∴△FGP∽△OCP，

∴＝＝，

∵CO＝4，

∴FG＝2，

∵G點(diǎn)在F點(diǎn)上方，

∴FG＝（m+4）﹣（﹣m2﹣+4）＝m2+，

∴m2+＝2，

解得m＝﹣4±4．

綜上所述，m的值為﹣4或﹣4﹣4或﹣4+4．