Question

（2012•順義區(qū)二模）如圖，△ABC中，AB=AC=2，若P為BC的中點(diǎn)，則AP²+BP•PC的值為

4

；若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，…，P₁₀₀，記m_i=AP_i²+BP_i•P_iC（i=1，2，…，100），則m₁+m₂+…+m₁₀₀的值為

400

．

Answer 1

分析：第一個(gè)空可通過構(gòu)建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)證明∴AB²=AP²+BP•PC即可；
第二個(gè)空可作AD⊥BC于D．根據(jù)勾股定理，得AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，從而求得M_i=AD²+BD²，即可求解．

解答：解：過A作AF⊥BC于F．
在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²；
在Rt△APF中，AF²=AP²-FP²；
∴AB²-BF²=AP²-FP²；
即AB²=AP²+BF²-FP²=AP²+（BF+FP）（BF-FP）；
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC；
∴BF-FP=CF-FP=PC；
∴AB²=AP²+BP•PC=4，
故答案為：4；
作AD⊥BC于D，則BC=2BD=2CD．
根據(jù)勾股定理，得
AP_i²=AD²+DP_i²=AD²+（BD-BP_i）²=AD²+BD²-2BD•BP_i+BP_i²，
又P_iB•P_iC=P_iB•（BC-P_iB）=2BD•BP_i-BP_i²，
∴M_i=AD²+BD²=AB²=4，
∴M₁+M₂+…+M₁₀₀=4×100=400．
故答案為：400．

點(diǎn)評(píng)：此題主要運(yùn)用了勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的突破點(diǎn)，另外代入進(jìn)行整理后代換出PC也是同學(xué)們不容易考慮到的．