Question

【題目】如圖1，以直線(xiàn)MN上的線(xiàn)段BC為邊作正方形ABCD，CH平分∠DCN，點(diǎn)E為射線(xiàn)BN上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線(xiàn)交射線(xiàn)CH于點(diǎn)F，探索AE與EF的數(shù)量關(guān)系。

(1)閱讀下面的解答過(guò)程。并按此思路完成余下的證明過(guò)程

當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，且點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，AB=EF

理由如下：

取AB中點(diǎn)P，達(dá)接PE

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC

∴△BPE等腰三角形，AP=BC

∴∠BPB=45°

∴∠APBE=135°

又因?yàn)?/span>CH平分∠DCN

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=135°

∴∠APE=∠ECF

余下正明過(guò)程是：

(2)當(dāng)點(diǎn)E為線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖2，結(jié)論“AE=EF”是否成立，如果成立，請(qǐng)給出證明過(guò)程；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如圖3，結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出必要的輔助線(xiàn)(不必說(shuō)明理由)。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）成立，圖形見(jiàn)解析

【解析】

(1) 取AB中點(diǎn)P，連接PE,得出∠APE=∠ECF，再根據(jù)同角的余角相等得出∠BAE=∠CEF，進(jìn)而得出ΔAPE≌ΔECF，求出結(jié)果;

(2) 在AB上截取BN=BE,類(lèi)比（1）的證明方法即可得出結(jié)果;

(3) 在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)Q，使BQ=BE，連接EQ, 類(lèi)比（1）的證明方法即可得出結(jié)果.

(1)余下證明過(guò)程為：

∵∠ABE=90°

∴∠BAE+∠AEB=90°

∵∠AEF=90°

∴∠BAE=∠CEF

∴ΔAPE≌ΔECF

∴AE=EF.

(2)成立

證明：在AB上截取BN=BE

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC

∴ΔBNE為等腰三角形，AN=EC

∴∠BNE=45°

∴∠ANE=135°

又因?yàn)镚H平分∠DCN

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=135°

∴∠ANE=∠ECF

由(1)得∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°

∴∠BAE=∠CEF

∴ΔANE≌ΔECF

∴AE=EF

(3)如圖

證明：在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)Q，使BQ=BE，連接EQ,

在正方形ABCD中，
∵AB=BC，
∴AQ=CE．
∵∠B=90°，
∴∠Q=45°．
∵CH平分∠DCN，∠DCN=∠DCB=90°，
∴∠HCE=∠Q=45°．
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB．
∵∠AEF=∠QAD=90°，
∴∠QAE=∠CEF．
∴△QAE≌△CEF．
∴AE=EF．