【題目】已知,如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經過直線y=﹣x+3與坐標軸的兩個交點A,B,此拋物線與x軸的另一個交點為C,拋物線的頂點為D.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若點M為拋物線上一動點,是否存在點M,使△ACM與△ABC的面積相等?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)在x軸上是否存在點N使△ADN為直角三角形?若存在,確定點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2+2x+3;(2)點M的坐標為(0、3)或2,3)或(1+3)或(1,3);(3)點N的坐標為(1,0)或(﹣70).

【解析】試題分析:1)先求得點A和點B的坐標,然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得bc的值即可;

2)設M的坐標為(xy),由ACMABC的面積相等可得到|y|=3,將y=3y=-3代入拋物線的解析式求得對應的x的值,從而得到點M的坐標;

3)先利用配方法求得點D的坐標,當∠DNA=90°時,DNOA,可得到點N的坐標,從而得到AN=2,然后再求得AD的長;當∠N′DA=90°時,依據(jù)sinDN′A=sinADN可求得AN′的長,從而可得到N′的解析式.

試題解析:(1)將x=0代入AB的解析式得:y=3,

B0,3).

y=0代入AB的解析式得:﹣x+3=0,解得x=3,

A30).

將點A和點B的坐標代入得: ,

解得:b=2c=3

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

2)設M的坐標為(x,y).

∵△ACMABC的面積相等,

AC|y|=ACOB

|y|=OB=3

y=3時,﹣x2+2x+3=3,解得x=0x=2,

M2,3)、(0、3).

y=3時,﹣x2+2x+3=3,解得:x=1+x=1

M1+,3)或(1,3).

綜上所述點M的坐標為(0、3)或23)或(1+,3)或(1,3).

3y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4

D1,4).

①當∠DNA=90°時,如圖所示:

∵∠DNA=90°時,

DNOA

又∵D1,4

N1,0).

AN=2

DN=4,AN=2,

AD=2

②當∠N′DA=90°時,則DN′A=NDA

,即,解得:AN′=10

A30),

N′﹣7,0).

綜上所述點N的坐標為(1,0)或(﹣7,0).

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ADAC互相垂直;

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⑤線段ABB點到AC的距離.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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