Question

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)．
畫法初探
①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫出△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)P（畫圖工具不限，保留畫圖痕跡或有必要的說(shuō)明）；

辯證思考
②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點(diǎn)？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似點(diǎn)的三角形；
特例分析
③已知P為△ABC的邊AB上的相似點(diǎn)，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；
④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點(diǎn)，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線．

①類比（1）中的“畫法初探”，可以提出問(wèn)題：對(duì)于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫圖工具的前提下，如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的畫法，不需在圖上畫出PQ）．
②請(qǐng)繼續(xù)類比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個(gè)欄目對(duì)矩形的相似線進(jìn)行研究，要求每個(gè)欄目提出一個(gè)問(wèn)題并解決．

Answer 1

（1）①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點(diǎn)P，則P為△ABC的自相似點(diǎn)；②不是，如正三角形；③直角三角形；④；（2）①在距離A點(diǎn)b2a處取點(diǎn)P，作PQ⊥CD，垂足為Q；②辯證思考：?jiǎn)栴}：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似線的矩形．解答：不是，如正方形．

試題分析：（1）①根據(jù)“自相似點(diǎn)”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法求解即可；
②根據(jù)“自相似點(diǎn)”的定義結(jié)合相似三角形的判定方法即可作出判斷；
③根據(jù)“自相似點(diǎn)”的定義結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可作出判斷；
④先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠B、∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)P是△ABC邊AB上的相似點(diǎn)可證得△CBP∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）①在距離A點(diǎn)處取點(diǎn)P，作PQ⊥CD，垂足為Q；
②答案不唯一，合理即可.
（1）①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，
在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點(diǎn)P，
則P為△ABC的自相似點(diǎn)；
②不是，如正三角形．
③直角三角形．
④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵P是△ABC邊AB上的相似點(diǎn)．
∴△CBP∽△ABC．
∴∠BCP＝∠A＝36°，且．
∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．
∴AP＝CP＝BC．
設(shè)BP＝x，AP＝CP＝BC＝y(tǒng)，有＝．
化簡(jiǎn)，得x²＋xy－y²＝0．
舍去負(fù)根，得＝，即＝；
（2）①在距離A點(diǎn)處取點(diǎn)P，作PQ⊥CD，垂足為Q；
②辯證思考
問(wèn)題：是不是所有的矩形都存在它的邊上的相似線？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)找出一個(gè)不存在邊上相似線的矩形．
解答：不是，如正方形．
特例分析
答案不唯一，以下答案供參考：
i）問(wèn)題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之間有何數(shù)量關(guān)系？
解答：a＝2b．
ii）問(wèn)題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，且P 是AB的中點(diǎn)，a、b之間有何數(shù)量關(guān)系？
解答：a＝2b．
iii）問(wèn)題：已知PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，求AP．
解答：AP＝12． 
iv）問(wèn)題：已知矩形ABCD為黃金矩形（即＝），PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線，求．
解答：＝．
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.