【題目】定義:P、Q分別是兩條線段a,b上任意一點,線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離.已知,O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐標系中四點.
(1)根據(jù)上述定義,當m=2,n=2時,如圖1,線段BC與線段OA的距離為;當m=5,n=2時,如圖2,線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為;


(2)如圖3,若點B落在圓心為A,半徑為2的圓上,線段BC與線段OA的距離記為d,求d關(guān)于m的函數(shù)解析式.

(3)當m值變化時,動線段BC與線段OA的距離始終為2,線段BC的中點為M,點D(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x軸,垂足為H,是否存在m值,使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似?若存在,求出m值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)2,
(2)解:如答圖2所示,當點B落在⊙A上時,m的取值范圍為2≤m≤6:

當4≤m≤6,顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑,即d=2;

當2≤m<4時,作BN⊥x軸于點N,線段BC與線段OA的距離等于BN長,

ON=m,AN=OA﹣ON=4﹣m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:

∴d= = =


(3)解:存在.

∵m≥0,n≥0,∴點M位于第一象限.

∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.

如答圖4所示,相似三角形有三種情形:

(I)△AM1H1,此時點M縱坐標為2,點H在A點左側(cè).

如圖,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA﹣OH1=2﹣m,

由相似關(guān)系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2﹣m),

∴m=1;

(II)△AM2H2,此時點M縱坐標為2,點H在A點右側(cè).

如圖,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2﹣OA=m﹣2,

由相似關(guān)系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m﹣2),

∴m=3;

(III)△AM3H3,此時點B落在⊙A上.

如圖,OH3=m+2,AH3=OH3﹣OA=m﹣2,

過點B作BN⊥x軸于點N,則BN=M3H3=n,AN=m﹣4,

由相似關(guān)系可知,AH3=2M3H3,即m﹣2=2n (1)

在Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m﹣4)2+n2 (2)

由(1)、(2)式解得:m1= ,m2=2,

當m=2時,點M與點A橫坐標相同,點H與點A重合,故舍去,

∴m=

綜上所述,存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似,m的取值為:1或3或


【解析】解:(1)當m=2,n=2時,

如題圖1,線段BC與線段OA的距離(即線段BN的長)=2;

當m=5,n=2時,

B點坐標為(5,2),線段BC與線段OA的距離,即為線段AB的長,

如答圖1,過點B作BN⊥x軸于點N,則AN=1,BN=2,

在Rt△ABN中,由勾股定理得:AB= = = ;

所以答案是:2, ;

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對點和圓的三種位置關(guān)系的理解,了解圓和點的位置關(guān)系:以點P與圓O的為例(設(shè)P是一點,則PO是點到圓心的距離),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O內(nèi),PO<r.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖1,已知線段AB、CD相交于點O,連接AC、BD,則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”.

(1)求證:∠A+∠C=∠B+D;

(2)如圖2,若∠CAB和∠BDC的平分線APDP相交于點P,且與CD、AB分別相交于點M、N.

以線段AC為邊的“8字型”有   個,以點O為交點的“8字型”有   

若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度數(shù);

若角平分線中角的關(guān)系改為“∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB”,試探究∠P∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明理由.

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【題目】綜合與探究

閱讀理解:數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具,任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示,這樣能夠運用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些問題.例如,兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點之間的距離可以用較大數(shù)與較小數(shù)的差來表示.例如:

在數(shù)軸上,有理數(shù)31對應(yīng)的兩點之間的距離為

在數(shù)軸上,有理數(shù)3與-2對應(yīng)的兩點之間的距離為;

在數(shù)軸上,有理數(shù)-3與-2對應(yīng)的兩點之間的距離為.

解決問題:如圖所示,已知點表示的數(shù)為-3,點表示的數(shù)為-1,點表示的數(shù)為2.

1)點和點之間的距離為______.

2)若數(shù)軸上動點表示的數(shù)為,當時,點和點之間的距離可表示為______;當時,點和點之間的距離可表示為______.

3)若數(shù)軸上動點表示的數(shù)為,點在點和點之間,點和點之間的距離表示為,點和點之間的距離表示為,求(用含的代數(shù)式表示并進行化簡)

4)若數(shù)軸上動點表示的數(shù)為-2,將點向右移動19個單位長度,再向左移動23個單位長度終點為,那么,兩點之間的距離是______.

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【題目】已知長方形紙片ABCD,點E在邊AB上,點FG在邊CD上,連接EF、EG.將∠BEG對折,點B落在直線EG上的點B′處,得折痕EM;將∠AEF對折,點A落在直線EF上的點A′處,得折痕EN

1)如圖1,若點F與點G重合,求∠MEN的度數(shù);

2)如圖2,若點G在點F的右側(cè),且∠FEG30°,求∠MEN的度數(shù);

3)若∠MENα,請直接用含α的式子表示∠FEG的大。

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【題目】已知點B在線段AC上,點D在線段AB上.

1)如圖1,若AB=6cm,BC=4cm,D為線段AC的中點,求線段DB的長度;

2)如圖2,若BD=AB=CDE為線段AB的中點,EC=12cm,求線段AC的長度.

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【題目】不等式組 的解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,的三個頂點都在格點上,點的坐標為

1)畫出關(guān)于軸對稱的,并寫出點的坐標   

2)畫出繞原點旋轉(zhuǎn)后得到的,并寫出點的坐標  

3是否為直角三角形?答   (填是或者不是).

4)利用格點圖,畫出邊上的高,并求出的長,   

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(1)畫出△A'B'C';

(2)BC上找一點P,使AP平分△ABC的面積;

(3)試在直線l上畫出所有的格點Q,使得由點A'B'、C'、Q四點圍成的四邊形的面積為9

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