Question

13．如圖①，若AB∥CD，點P在AB，CD外部，則有∠D=∠BOD，又因為∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D-∠B．
探究一：將點P移到AB，CD內(nèi)部，如圖②，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
探究二：在圖②中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD延長線于點Q，如圖③，則∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之間又有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
探究三：在圖④中，直接根據(jù)探究二的結(jié)論，寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

Answer 1

分析 探究一，過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，即∠B+∠BPD+∠D=360°．
探究二，連接QP并延長至E，根據(jù)∠BPE是△BPQ的一個外角，得到∠BPE=∠BQP+∠B．同理得到∠EPD=∠DQP+∠PDQ，從而∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．  
探究三，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和等于360°得出即可．

解答 探究一，∠B+∠BPD+∠D=360°，
證明：過點P作PE∥AB，如圖②，
∴∠B+∠BPE=180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠D+∠EPD=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°；

探究二，∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，
證明：連接QP并延長至E，如圖③，
∵∠BPE是△BPQ的一個外角，
∴∠BPE=∠BQP+∠B．
同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ．
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．
即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；
             
探究三，如圖④，∵∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，同時要結(jié)合三角外角的性質(zhì)，最關(guān)鍵的是知道兩直線平行，內(nèi)錯角相等．