Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP中點，延長CO交⊙O于點D，連接AD，過點D作⊙O的切線交PB的廷長線于點E，連CE．

（1）求證：△DAC≌△ECP；

（2）填空：

①當∠DAP= 時，四邊形DEPC為正方形；

②在點P運動過程中，若⊙O半徑為5，tan∠DCE=，則AD= ．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）①∠DAP=45°；②AD=4．

【解析】

試題分析：（1）先由切線的性質(zhì)得到∠CDE=90°，再利用垂徑定理的推理得到DC⊥AP，接著根據(jù)圓周角定理得到∠APB=90°，于是可判斷四邊形DEPC為矩形，所以DC=EP，然后根據(jù)“SAS”判斷△DAC≌△ECP；（2）①利用四邊形DEPC為矩形得到DE=PC=AC，則根據(jù)正方形的判定方法得DC=CP時，四邊形DEPC為正方形，則DC=CP=AC，于是得到此時△ACD為等腰直角三角形，所以∠DAP=45°；②先證明∠ADC=∠DCE，再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC==，則設(shè)AC=x，DC=2x，利用勾股定理得到AD=x，然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x2+（2x﹣5）2=52，再解方程求出x即可得到AD的長．

試題解析：（1）證明：∵DE為切線，

∴OD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∵點C為AP的中點，

∴DC⊥AP，

∴∠DCA=∠DCP=90°，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠APB=90°，

∴四邊形DEPC為矩形，

∴DC=EP，

在△DAC和△ECP中

，

∴△DAC≌△ECP；

（2）解：①∵四邊形DEPC為矩形，

∵DE=PC=AC，

∵當DC=CP時，四邊形DEPC為正方形，

此時DC=CP=AC，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠DAP=45°；

②∵DE=AC，DE∥AC，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∴AD∥CE，

∴∠ADC=∠DCE，

在Rt△ACD中，tan∠ADC==tan∠DCE=，

設(shè)AC=x，則DC=2x，

∴AD==x，

在Rt△AOC中，AO=5，OC=CD﹣OD=2x﹣5，

∴x2+（2x﹣5）2=52，解得x1=0（舍去），x2=4，

∴AD=4．