【題目】如圖,在矩形ABCD中,邊AB的長為3,點E,F(xiàn)分別在AD,BC上,連接BE,DF,EF,BD,若四邊形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,則邊BC的長為( )

A. 2 B. 6 C. 3 D.

【答案】C

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,AB=BO=3,因為四邊形BEDF是菱形,所以BE,AE可求出進而可求出BC的長.

解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
即BA⊥BF,
∵四邊形BEDF是菱形,
∴EF⊥BD,∠EBO=∠DBF,
∵EF=AE+FC,AE=CF,EO=FO
∴AE=EO=CF=FO,
∴AB=BO=3,∠ABE=∠EBO,
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,

在Rt△BAE中,設(shè)AE=x,則BE=2x,由勾股定理得,
∴AB2+AE2=BE2,即32+x2=(2x)2,

BE=2,

∴BF=BE=2,
∴CF=AE=,
∴BC=BF+CF=3
故選C.

“點睛”本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及在直角三角形中30°角所對的直角邊時斜邊的一半,解題的關(guān)鍵是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.

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