Question

【題目】如圖1，在圓中，垂直于弦，為垂足，作，與的延長(zhǎng)線交于.

（1）求證：是圓的切線；

（2）如圖2，延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng) .

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OA，利用切線的判定證明即可；
（2）分別連結(jié)OP、PE、AE，OP交AE于F點(diǎn)，根據(jù)勾股定理解答即可．

解：（1）如圖，連結(jié)OA，

∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
又∠BAD=∠BOC，
∴∠BAD=∠AOC
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BAD+∠OAC=90°，
∴OA⊥AD，
即：直線AD是⊙O的切線；
（2）分別連結(jié)OP、PE、AE，OP交AE于F點(diǎn)，
∵BE是直徑，
∴∠EAB=90°，
∴OC∥AE，
∵OB=，
∴BE=13
∵AB=5，在直角△ABE中，AE=12，EF=6，FP=OP-OF=-=4
在直角△PEF中，FP=4，EF=6，PE2=16+36=52，
在直角△PEB中，BE=13，PB2=BE2-PE2，
PB=＝3．