Question

如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為4，E是邊BC上動(dòng)點(diǎn)，EH⊥AC于H，過(guò)E作EF∥AC，交線段AB于點(diǎn)F，在線段AC上取點(diǎn)P，使PE=EB．設(shè)EC=x（0＜x≤2）．
（1）請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形EFPQ是平行四邊形時(shí)，求平行四邊形EFPQ的面積（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)（2）中的平行四邊形EFPQ面積最大值時(shí)，以E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)⊙E與此時(shí)平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形和EF∥AC，可得等邊三角形BEF，則可寫出與EF相等的線段；
（2）根據(jù)（1）可知EF=BE=4-x，要求平行四邊形的面積，只需求得EF邊上的高．作EH⊥AC于H，根據(jù)30度的直角三角形EHC進(jìn)行表示EH的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得平行四邊形的面積；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式或頂點(diǎn)的公式法求得平行四邊形的面積的最大值時(shí)x的值，分析平行四邊形的位置和形狀．然后根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)分析圓和平行四邊形的各邊的位置關(guān)系，進(jìn)一步根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得r的取值范圍．

解答：解：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條．

（2）連接FP，作EQ∥FP交FE于E
設(shè)EC為x
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=90°
∴△CHE為直角三角形
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°
在Rt△CHE中，∠CHE=90°，∠C=60°，
∠HEC=180°-∠C-∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE²=EC²-HC²
∴EH=

3

2

x，
∵EF∥AC，F(xiàn)P∥EQ
∴四邊形EFPQ為平行四邊形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4-x
∴S_{平行四邊形EFPQ}=-

3

2

x²+2

3

x．

（3）S_{平行四邊形EFPQ}=-

3

2

x²+2

3

x
=-

3

2

（x-2）²+2

3

，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_{平行四邊形EFPQ}有最大值．
此時(shí)E、F、P分別為△ABC三邊BC、AB、AC的中點(diǎn)，且點(diǎn)C、點(diǎn)Q重合
∴平行四邊形EFPQ是菱形．
過(guò)E點(diǎn)作ED⊥FP于D，
∴ED=EH=

3

．
∴當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是2個(gè)時(shí)，0＜r＜

3

；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是4個(gè)時(shí)，r=

3

；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是6個(gè)時(shí)，

3

＜r＜2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是3個(gè)時(shí)，r=2；
當(dāng)⊙E與平行四邊形EFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是0個(gè)時(shí)，r＞2．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)、直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系．