Question

【題目】如圖，矩形的兩條邊、分別在軸和軸上，已知點 坐標(biāo)為(4，–3).把矩形沿直線折疊，使點落在點處，直線與、、的交點分別為、、.

(1)線段 ；

(2)求點坐標(biāo)及折痕的長;

(3)若點在軸上，在平面內(nèi)是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形?若存在，則請求出點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由;

Answer 1

【答案】（1）；（2）；拆痕DE的長為； （3）點Q坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)B點的坐標(biāo)即可求得AC的長度.

（2）首先根據(jù)已知條件證明，再根據(jù)相似比例計算DF、CD的長度

即可計算出D點的坐標(biāo)，再證明，根據(jù)EF=DF，即可計算的DE的長度.

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論第一種情況當(dāng)時；第二種情況當(dāng)時；第三種情況當(dāng)時，分別計算即可.

解：（1）

（2），由折疊可得：

,.

∵四邊形OABC是矩形，

∴拆痕DE的長為

（3）由（2）可知，，

若以P、D、E、Q為頂點的四邊形是菱形，則必為等腰三角形。

當(dāng)時，可知，

此時PE為對角線，可得

當(dāng)時，可知，此時DP為對角線，可得；

當(dāng)時，P與C重合，Q與A重合，

綜上所述，滿足條件的點Q坐標(biāo)為