Question

（2013•安徽）我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點(diǎn)，顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn)，將此基本圖不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合，這樣得到圖2，圖3，…

（1）觀察以上圖形并完成下表：

圖形的名稱	基本圖的個(gè)數(shù)	特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)
圖1	1	7
圖2	2	12
圖3	3	17
圖4	4	22
…	…	…

猜想：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

5n+2

（用n表示）；
（2）如圖，將圖（n）放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對(duì)稱中心O₁的坐標(biāo)為（x₁，2），則x₁=

3

；圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

2013

3

．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，結(jié)合已知條件，得出將基本圖每復(fù)制并平移一次，特征點(diǎn)增加5個(gè)，由此得出圖4中特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為17+5=22個(gè)，進(jìn)一步猜想出：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：7+5（n-1）=5n+2；
（2）過(guò)點(diǎn)O₁作O₁M⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)正六邊形、等腰三角形的性質(zhì)得出∠BO₁M=30°，再由余弦函數(shù)的定義求出O₁M=

3

，即x₁=

3

；然后結(jié)合圖形分別得出圖（2）、圖（3）、圖（4）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，找到規(guī)律，進(jìn)而得出圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意，可知圖1中特征點(diǎn)有7個(gè)；
圖2中特征點(diǎn)有12個(gè)，12=7+5×1；
圖3中特征點(diǎn)有17個(gè)，17=7+5×2；
所以圖4中特征點(diǎn)有7+5×3=22個(gè)；
由以上猜想：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：7+5（n-1）=5n+2；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁M⊥y軸于點(diǎn)M，
又∵正六邊形的中心角

360°

6

=60°，O₁C=O₁B=O₁A=2，
∴∠BO₁M=30°，
∴O₁M=O₁B•cos∠BO₁M=2×

3

2

=

3

，
∴x₁=

3

；
由題意，可得圖（2）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

1

2

（2

3

×2）=2

3

，
圖（3）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

1

2

（2

3

×3）=3

3

，
圖（4）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

1

2

（2

3

×4）=4

3

，
…
∴圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為

1

2

（2

3

×2013）=2013

3

．
故答案為22，5n+2；

3

，2013

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題借助正六邊形考查了規(guī)律型：圖形的變化類問(wèn)題，難度適中．關(guān)鍵是通過(guò)觀察、歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律；（2）要注意求的是整個(gè)圖形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，而不是第2013個(gè)正六邊形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，這也是本題容易出錯(cuò)的地方．