Question

（2013•椒江區(qū)一模）我們把三角形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)三角形三邊所在直線距離的最小值叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)三角形的距離．如圖1，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，如果PE≥PF≥PD，則稱PD的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到△ABC的距離．如圖2、圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6，0），B（0，8），連接AB．
（1）若P在圖2中的坐標(biāo)為（2，4），則P到OA的距離為

4

，P到OB的距離為

2

，P到AB的距離為

0.8

，所以P到△AOB的距離為

0.8

；
（2）若點(diǎn)Q是圖2中△AOB的內(nèi)切圓圓心，求點(diǎn)Q到△AOB距離的最大值；
（3）若點(diǎn)R是圖3中△AOB內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)R到△AOB的距離為1，請(qǐng)畫出所有滿足條件的點(diǎn)R所形成的封閉圖形，并求出這個(gè)封閉圖形的周長(zhǎng)．（畫圖工具不限）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)得出P到OA，OB的距離即可，進(jìn)而根據(jù)圖形的面積得出P到AB的距離；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)Q到△AOB三邊距離相等即Q為△AOB的內(nèi)心時(shí)，Q到△AOB的距離最大，根據(jù)三角形面積求出即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)P到三角形的距離定義得出R的移動(dòng)范圍，進(jìn)而得出點(diǎn)R所形成的封閉圖形形狀，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖2，∵P在圖2中的坐標(biāo)為（2，4），
∴P到OA的距離為：4，
P到OB的距離為：2，
∵（6，0），B（0，8），
∴OB=8，AO=6，則AB=10，
設(shè)P到AB的距離為x，
則

1

2

×2×BO+

1

2

×AO×4+

1

2

×AB×x=

1

2

×6×8，
解得：x=0.8，
故P到AB的距離為：0.8，所以P到△AOB的距離為：0.8；
故答案為：4，2，0.8，0.8；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q到△AOB三邊距離相等即Q為△AOB的內(nèi)心時(shí)，
Q到△AOB的距離最大．
設(shè)這個(gè)最大值為h，則

1

2

×8×h+

1

2

×6×h+

1

2

×10×h=

1

2

×6×8，
解得：h=2．
∴點(diǎn)Q到△AOB距離的最大值為2．

（3）設(shè)點(diǎn)Q為△AOB的內(nèi)心，
如圖3，連接QA，QB，QO，分別取QA，QB，QO的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，GE，
則△EFG即為所要畫的圖形．（只要畫圖正確即可，不必書寫畫圖過程），
由畫圖可知，△EFG∽△ABO，
由上題及已知條件可知，△EFG與△ABO的相似比為

1

2

，
因?yàn)椤鰽BO的周長(zhǎng)為24，所以△EFG的周長(zhǎng)為12．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)心的知識(shí)以及位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)已知結(jié)合三角形面積公式得出Q的位置是解題關(guān)鍵．