Question

【題目】如圖，是的直徑，是的弦，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

求證：為的切線(xiàn)；

猜想線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．理由見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）連接OD，由AO=BO，BD=DC，可判斷OD為△BAC的中位線(xiàn)，則OD∥AC，由于EF⊥AC，則EF⊥OD，于是可根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到EF為⊙O的切線(xiàn)；

（2）連結(jié)AD，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，而BD=CD，根據(jù)等腰三角形的判定得AB=AC，再根據(jù)等角的余角相等得到∠DAB=∠BDF，則可判斷△FBD∽△FDA，得到DF：AF=BF：DF，理由比例性質(zhì)得DF2=BFFA=BF（BF+AB），所以DF2=BF2+BFAC；

（3）先得到OD=，AB=AC=5．在Rt△ACD中，由正切的定義得到AD=2CD，再根據(jù)勾股定理可解得CD=．在Rt△ECD中，同樣可求得CE=1，則DE=2，AE=AC﹣CE=4，然后根據(jù)△FOD∽△FAE，利用相似比可求出EF的長(zhǎng)．

（1）連接OD，如圖，∵AO=BO，BD=DC，∴OD∥AC．

∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．

∵OD為半徑，∴EF為⊙O的切線(xiàn)；

（2）DF2=BF2+BFAC．理由如下：

連結(jié)AD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，而BD=CD，∴AB=AC，∠DAB+∠ABD=90°．

∵OD⊥DF，∴∠ODB+∠BDF=90°，而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠DAB=∠BDF，而∠BFD=∠DFA，∴△FBD∽△FDA，∴DF：AF=BF：DF，∴DF2=BFFA，∴DF2=BF（BF+AB）

∴DF2=BF2+BFAC；

（3）∵AO=，∴OD=，AB=AC=5．在Rt△ACD中，tanC==2，∴AD=2CD．

∵AD2+CD2=AC2，∴4CD2+CD2=52，解得：CD=Rt△ECD中，tanC==2，∴DE=2CE．

∵DE2+CE2=CD2，∴4CE2+CE2=5，解得：CE=1，∴DE=2，AE=AC﹣CE=4．

∵OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴=，即=，∴EF=．