Question

【題目】（1）如圖1，△AEC中，∠E＝90°，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADB，AC與AB對(duì)應(yīng)，AE與AD對(duì)應(yīng)

①請(qǐng)證明△ABC為等邊三角形；

②如圖2，BD所在的直線為b，分別過(guò)點(diǎn)A、C作直線b的平行線a、c，直線a、b之間的距離為2，直線a、c之間的距離為7，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為　 　．

（2）如圖3，∠POQ＝60°，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A為∠POQ內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)B、C分別在射線OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②；（2）.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可證△ABC為等邊三角形；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥直線a，延長(zhǎng)GE交直線c于點(diǎn)H，可得GH＝7，AD＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由銳角三角函數(shù)可求CE＝4，根據(jù)勾股定理可求等邊△ABC的邊AC的長(zhǎng)；

（3）過(guò)點(diǎn)A作∠AHO＝60°，交OQ于點(diǎn)G，交OP于點(diǎn)H，根據(jù)特殊三角函數(shù)值可求AH＝4，通過(guò)證明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根據(jù)勾股定理可求△ABC的邊AC的長(zhǎng)．

解：（1）∵將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADB，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC為等邊三角形．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥直線a，延長(zhǎng)GE交直線c于點(diǎn)H，

∵a∥b∥c，

∴EH⊥直線c，

∵直線a、c之間的距離為7，

∴GH＝7

∵將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADB，

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，

∵直線a、b之間的距離為2，

∴AD＝2＝AE，

∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，

∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，

∴EH＝7﹣1＝6，

∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，

∴∠CEH＝30°，

∴cos∠CEH＝，

∴CE＝4

在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，

故答案為：2

（3）過(guò)點(diǎn)A作∠AHO＝60°，交OQ于點(diǎn)G，交OP于點(diǎn)H，

∵AE⊥OP，∠AHO＝60°

∴sin∠AHO＝

∴AH＝4

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，

∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，

∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，

∴△OBC≌△HCA（AAS）

∴AH＝OC＝4，

∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，

在Rt△ACE中，AC＝＝＝，

∴△ABC的邊長(zhǎng)為．