Question

【題目】已知兩函數(shù)：反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝x2+x+a．

（1）若兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（2，2）．

①求兩函數(shù)的表達式；

②證明反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點．

（2）若二次函數(shù)y＝x2+x+a的圖象與x軸有兩個不同的交點，是否存在實數(shù)a，使方程x2+x+a＝0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于﹣1？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，y＝x2+x﹣1；②見解析；（2）不存在符合條件的a的值，理由詳見解析

【解析】

（1）①把x＝2，y＝2分別代入兩個函數(shù)的表達式解出參數(shù)即可；

②先求出二次函數(shù)的頂點，再代入反比例函數(shù)中即可判斷；

（2）先根據(jù)題意求出a的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系表達出兩個實數(shù)根的倒數(shù)和，解出a的值，并判斷是否與a的取值范圍相符即可．

（1）①解：根據(jù)題意，把x＝2，y＝2分別代入兩個函數(shù)的表達式，

由2＝得k＝4，

∴反比例函數(shù)為，

由2＝1+2+a得a＝﹣1，

∴二次函數(shù)為y＝x2+x﹣1，

∴兩函數(shù)的表達式分別是，y＝x2+x﹣1．

②證明：由y＝x2+x﹣1＝知，

二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），

又當(dāng)x＝﹣2時，y＝，

所以反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點．

（2）解：不存在符合條件的a的值，

理由：根據(jù)題意，由△＝1﹣4×a>0得a<1，

∴a的取值范圍是a<1，

設(shè)方程x2+x+a＝0的兩根分別為x1、x2，

由根與系數(shù)關(guān)系有：

x1+x2＝﹣4，x1x2＝4a，

又，

若，

得a＝1，這與a＜1不符，

∴不存在符合條件的a的值．