【題目】如圖,矩形OABC的兩邊在坐標軸上,點A的坐標為(10,0),拋物線過點B,C兩點,且與x軸的一個交點為D(﹣2,0),點P是線段CB上的動點,設CP=t(0t10).

(1)請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式;

(2)過點P作PEBC,交拋物線于點E,連接BE,當t為何值時,PBE=OCD?

(3)點Q是x軸上的動點,過點P作PMBQ,交CQ于點M,作PNCQ,交BQ于點N,當四邊形PMQN為正方形時,請求出t的值.

【答案】(1)B(10,4),C(0,4),;(2)3;(3)t的值為

【解析】

試題分析:(1)由拋物線的解析式可求得C點坐標,由矩形的性質可求得B點坐標,由B、D的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)可設P(t,4),則可表示出E點坐標,從而可表示出PB、PE的長,由條件可證得PBE∽△OCD,利用相似三角形的性質可得到關于t的方程,可求得t的值;

(3)當四邊形PMQN為正方形時,則可證得COQ∽△QAB,利用相似三角形的性質可求得CQ的長,在RtBCQ中可求得BQ、CQ,則可用t分別表示出PM和PN,可得到關于t的方程,可求得t的值.

試題解析:

(1)在中,令x=0可得y=4,C(0,4),四邊形OABC為矩形,且A(10,0),B(10,4),把B、D坐標代入拋物線解析式可得,解得拋物線解析式為;

(2)由題意可設P(t,4),則E(t,),PB=10﹣t,PE=﹣4=,∵∠BPE=COD=90°,PBE=OCD,∴△PBE∽△OCD,,即BPOD=COPE,2(10﹣t)=4(),解得t=3或t=10(不合題意,舍去),當t=3時,PBE=OCD;

(3)當四邊形PMQN為正方形時,則PMC=PNB=CQB=90°,PM=PN,∴∠CQO+AQB=90°,∵∠CQO+OCQ=90°,∴∠OCQ=AQB,RtCOQRtQAB,,即OQAQ=COAB,設OQ=m,則AQ=10﹣m,m(10﹣m)=4×4,解得m=2或m=8;

當m=2時,CQ= =,BQ==,sinBCQ= =,sinCBQ==,PM=PCsinPCQ=t,PN=PBsinCBQ=(10﹣t),t=(10﹣t),解得t=;

當m=8時,同理可求得t=,當四邊形PMQN為正方形時,t的值為

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