Question

問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80⁰，則∠BEC=         ；若∠A=n⁰，則∠BEC=         ．
探究：
（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n⁰，則∠BEC=         ；
（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n⁰，則∠BEC=         ；
（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n⁰，則∠BEC=        ．

Answer 1

問題：130；；探究：（1）；（2）；（3）.

試題分析：問題：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可.
探究：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可.
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關(guān)系.
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．
問題：如圖1，
∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB.
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=180°-90°+∠A=90°+∠A.
∴若∠A=80⁰，則∠BEC=90°+40⁰=130⁰；若∠A=n⁰，則∠BEC=.
探究：（1）如圖2，
∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB.
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=180°-120°+∠A=.
（2）如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACM.
又∵∠ACM是△ABC的一外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC.
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1.
∵∠2是△BEC的一外角，∴∠BEC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A=.

（3）如圖4，
∵∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB）=90°-∠A=．