解:(1)AC∥BE;AC⊥OA,BE⊥OB,∠OAC=90°;OB=AB,OE=CE;
BE=
AC,OA=2OB;∠BEO=∠ACO,∠CAO=∠EBO;
=
;
OB
2+BE
2=OE
2,OA
2+AC
2=OC
2;
的度數(shù)=
的度數(shù).
(2)∵BE、OB的長是關(guān)于x的方程x
2-(m+1)x+m=0的兩根.
∴
,
又∵OE是⊙D直徑,且OE=2,
∴∠OBE=90°.
∴OB
2+BE
2=OE
2=4.
即(OB+BE)
2-2OB•BE=4.
∴(m+1)
2-2m=4,
解之,得m=±
.
∵BE•OB=m>0
∴m=
.
將m=
代入原方程,得x
2-(
+1)x+
=0
解之,得x
1=
,x
2=1,
∵OB<BE
∴OB=1,BE=
過B作BF⊥x軸于F,則∠BOF=90°-∠BOE=∠OEB=30度.
∴BF=
OB=
,OF=
.即B(
).
∵拋物線頂點為E(0,2)
∴設拋物線的解析式為y=ax
2+2.
將B點坐標代入,得a=-2.
所求拋物線解析式為y=-2x
2+2.
(3)拋物線上存在點P,使得△PBE是以BE為直角邊的直角三角形.
①當∠PBE=90°時,點P必須在BO的延長線上,
設直線OB的解析式為y=kx.
則
.
∴k=
,y=
x.
解方程組
得
(即為B點,舍去)
②當∠PEB為直角時,延長EP交⊙D于G,連接BG、OG,則BG為⊙D直徑,
四邊形OBEG為⊙D內(nèi)接矩形.
∴OG=BE=
.∠GOE=∠BEO=30°.
過G作GH⊥y軸于H,則GH=
,OG=
,OH=
.G(-
,
).
可求得直線EG的解析式為y=
x+2.
解方程組
得
(即為E點,舍去)
∴點P的坐標為(-
,-
)或(-
,
).
分析:(1)根據(jù)圓周角定理可得出∠OBE=∠A,那么BE∥AC,△OBE∽△OAC…本題的答案不唯一,只要正確都可以.
(2)已知了OE=2,根據(jù)勾股定理可得出OB
2+BE
2=(BO+BE)
2-2OB•BE=4,然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m的值,也就能求出OB,BE的長,過B作y軸的垂線,根據(jù)三角形面積的不同表示方法即可求出B點的縱坐標,進而可求出其橫坐標.然后根據(jù)E,B點的坐標,用頂點式二次函數(shù)通式設拋物線的解析式,然后將B點坐標代入即可求出以E為頂點過B點的拋物線的解析式.
(3)本題要分情況進行討論:
①當∠PBE=90°時,那么P點必為直線OB與拋物線的交點,因此可先求出直線OB的解析式然后聯(lián)立拋物線的解析式求出P點的坐標.
②當∠BEP=90°時,設直線EP與圓D交于G點,那么四邊形EGOB是個矩形,然后參照求B點坐標時的方法求出G點的坐標,再按①的步驟進行求解即可.
點評:本題考查了圓周角定理、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力.