Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度沿AD?DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，P、Q就同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
（1）用t的代數(shù)式分別表示P、Q運(yùn)動的路程；
（2）求出梯形ABCD的面積；
（3）當(dāng)t為多少秒時，四邊形PQBC為平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）因為P、Q分別以3個單位/秒、1個單位/秒的速度前進(jìn)，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可知P、Q運(yùn)動的路程分別為3t、t；
（2）過點(diǎn)C作CE∥AD交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，從而構(gòu)建平行四邊形AECD和等腰三角形，根據(jù)勾股定理和梯形面積公式求解；
（3）用反推法，先假設(shè)四邊形PQBC為平行四邊形，根據(jù)BQ=PC求出t．

解答：解：（1）P、Q運(yùn)動的路程分別是3t、t；（2分）

（2）過點(diǎn)C作CE∥AD交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F
在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，
又CE∥AD
∴四邊形AECD為平行四邊形
∴CE=AD=BC=5，AE=CD=7
∴BE=AB-AE=13-7=6
在等腰△ECB中CF⊥AB，
∴F是BE的中點(diǎn)
∴EF=3
在Rt△CEF中CE=5，EF=3由勾股定理得
∴CF=4
∴梯形ABCD的面積=

(AB+CD)×CF

2

=

(13+7)×4

2

=40．（7分）

（3）當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時
PC=BQ即可
PC=5+7-3t，BQ=t
∴5+7-3t=t
∴t=3
當(dāng)t=3秒時，四邊形PQBC為平行四邊形．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，通過與等腰三角形和勾股定理結(jié)合求解．