Question

如圖，在等腰梯形AB∥⊥CD中，BC∥AD，BC＝8，AD＝20，AB＝DC＝10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動(dòng)，且PQ∥DC，若AP＝x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．

　　

(1)分別求出當(dāng)點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)線段PQ將梯形AB∥⊥CD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？

(3)當(dāng)(2)的條件下，設(shè)線段PQ與梯形AB∥⊥CD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？借助備用圖說(shuō)明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線l經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，一定能平分梯形的面積？(只要求說(shuō)出條件，不需要證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖甲，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB上時(shí)，PQ的右側(cè)圖形為等腰上△AQP，底邊AP=x，過(guò)Q、B點(diǎn)分別作QM⊥AD，BN⊥∠AD，垂足分別為M、N，又過(guò)B作BG∥DC交AD于G點(diǎn)，則有AG=12，BG=DC=AB=10，在Rt△ABN中，AB=10，AN=6，∴BN=8，∵△AQP為等腰三角形，∴AM=AP－x，又QM⊥AD，QM⊥AD，BN⊥AD，∴QM∥BN，∴，∴QM=＝x，∴S=AP·QM=x·x=x2，∴當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，S=x2，自變量x的取值范圍是0≤x≤12．當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ右側(cè)四邊形ABQP為梯形，則S=(QB＋AP)·BN=[(x－12)＋x]×8=8x－48，自變量x的取值范圍是12≤x≤20 　　(2)梯形ABCD的面積S0＝＋(BC＋AD)·BN=(8＋20)×8=112，易知點(diǎn)Q在AB移動(dòng)時(shí)，△AQP的面積最在值為AG·BN=×12×8=48＜，故線段PQ等分梯形ABCD的面積時(shí)點(diǎn)Q只可能在BC上，∴8x－48==56，∴x=13 基　(3)如圖乙，當(dāng)PQ等分梯形ABCD面積時(shí)，可知S四邊形QCDP=S四邊形ABQP，又EF是梯形的中應(yīng)線，∴OE·BN=OF·BN，即OE=OF，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)且與較短的底(上底)相交時(shí)，其一定平分梯形的面積．