Question

12．如圖，△ABO為等腰直角三角形，A（-4，0），直角頂點(diǎn)B在第二象限．點(diǎn)C在y軸上移動，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨著C點(diǎn)的移動也在一條直線上移動，這條直線的函數(shù)表達(dá)式是y=x+2或y=-x+2．

Answer 1

分析 抓住兩個特殊位置：當(dāng)BC與x軸平行時，求出D的坐標(biāo)；C與原點(diǎn)重合時，D在y軸上，求出此時D的坐標(biāo)，設(shè)所求直線解析式為y=kx+b，將兩位置D坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出所求直線解析式．

解答 解：當(dāng)BC與x軸平行時，過B作BE⊥x軸，過D作DF⊥x軸，交BC于點(diǎn)G，如圖1所示，
∵等腰直角△ABO的O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是（-4，0），
∴AO=4，
∴BC=BE=AE=EO=GF=$\frac{1}{2}$OA=2，OF=DG=BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=1，DF=DG+GF=3，
∴D坐標(biāo)為（-1，3）；
當(dāng)C與原點(diǎn)O重合時，D在y軸上，
此時OD=BE=2，即D（0，2），
設(shè)所求直線解析式為y=kx+b（k≠0），
將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
則這條直線解析式為y=-x+2，
當(dāng)D（-1，1）和D（-2，0）
于是得到y(tǒng)=x+2，
綜上所述：這條直線的函數(shù)表達(dá)式是y=x+2或y=-x+2．
故答案為：y=x+2或y=-x+2．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡問題，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．