Question

已知，矩形ABCD中，延長(zhǎng)BC至E，使BE = BD，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CF．

（1）若AB = 3，AD = 4，求CF的長(zhǎng)；
（2）求證：∠ADB = 2∠DAF．

Answer 1

（1）；（2）連接BF，由BE=BD，EF=DF可證得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可證得∠DCF=∠FDC，從而可得∠ADF=BCF，再結(jié)合AD=BC即可證得△ADF≌△BCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出判斷.

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)個(gè)定理即可求的BD的長(zhǎng)，從而可以求得BE、CE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得DE的長(zhǎng)，最后由F為DE的中點(diǎn)即可求得結(jié)果；
（2）連接BF，由BE=BD，EF=DF可證得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可證得∠DCF=∠FDC，從而可得∠ADF=BCF，再結(jié)合AD=BC即可證得△ADF≌△BCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出判斷.
（1）∵因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形
∴
在RT△ABD中，
∴，
∴
∵F是DE的中點(diǎn)
∴；
（2）連接BF

∵BE=BD，EF=DF
∴∠DBF=∠EBF
又∵CF=DE=DF
∴∠DCF=∠FDC
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF
即∠ADF=BCF
又∵AD=BC
∴△ADF≌△BCF
∴∠DAF=∠FBC=∠DBE
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBE
∴∠ADB=2∠DAF．
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．