Question

【題目】如圖1，DC∥AB，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm. 點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

（1）① 求證：△ACD∽△BAC；② 求DC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，求t為何值時(shí)，△PBQ的面積為cm2；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)，求t為何值時(shí)，PQ∥BC.

Answer 1

【答案】（1）① 見解析；② DC=6.4(cm)；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，t=2s時(shí)，△PBQ的面積為cm2；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)，t=5s時(shí)，PQ∥BC.

【解析】

（1）①根據(jù)DC∥AB，得到∠ACD=∠BAC，由于∠D=90°，AC⊥BC，于是得到∠D=∠ACB=90°，就可得到△ACD∽△BAC；
②在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==8（cm），根據(jù)△ACD∽△BAC，列比例式即可得到結(jié)果；（2）如圖1，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，0＜t≤3，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)sinB=，即 ，求得QE=t，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)論；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，PQ∥BC，列比例式得方程解得結(jié)果．

（1）①∵ DC∥AB，

∴ ∠ACD=∠BAC．

又∵ ∠D=90°，AC⊥BC，

∴ ∠D=∠ACB=90°，

∴ △ACD∽△BAC．

② 在Rt△ABC中，由勾股定理，得

AC==8(cm).

∵ △ACD∽△BAC，

∴ ，

即 ．

解得DC=6.4(cm).

（2）如圖，點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，0＜t≤3.

過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，

∴ sinB=，即 ．

解得 QE=t.

∴ BP·QE=(10-t)·t=.

整理，得 t2-10t+16=0.

解這個(gè)方程，得t1=2，t2=8 (不合題意，舍去).

∴當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，t=2s時(shí)，△PBQ的面積為cm2.

（3）如圖，

當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，PQ∥BC.

∴ 即 ，解得 t=5.

∴ 當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)，t=5s時(shí)，PQ∥BC