Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半徑為5的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，y軸相切于T點(diǎn)，且A，T是直線y=-2x+4與x軸，y軸的交點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)T、A、B的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且頂點(diǎn)D在圓上，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求出（2）中A、B、D三點(diǎn)且使△ABD的面積是27的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線AT的解析式求出T、A的坐標(biāo)，根據(jù)OT的長(zhǎng)和圓的半徑即可得出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓的對(duì)稱性以及A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知，拋物線的頂點(diǎn)D和圓心M同在拋物線的對(duì)稱軸上．設(shè)圓心為M，連接MA，MB，設(shè)過M且與y軸平行的直線與AB交于E，根據(jù)勾股定理即可求出ME的長(zhǎng)，根據(jù)圓的半徑的長(zhǎng)和ME的長(zhǎng)即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)△ABD的面積即可求出符合條件的D點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法求解即可．

解答：解：（1）設(shè)圓心為M，連接MT，MA，MB，過M作ME⊥AB于E．
∵OT與圓M相切，且T為切點(diǎn)，
易知：T（0，4），
∴ME=OT=4，
∴M（5，4），
易知：A（2，0），根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：B（8，0），

（2）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)D和點(diǎn)M必在拋物線的對(duì)稱軸x=5上，
由（1）知ME=4，
因此D（5，9）或（5，-1）．

（3）已知S_△ABD=

1

2

AB•|y_D|=3•|y_D|=27，
∴|y_D|=9，由（2）知D（5，9），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+9，則有a（8-5）²+9=0，a=-1，
∴y=-（x-5）²+9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓和拋物線的對(duì)稱性、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)．要注意（2）中不確定D點(diǎn)在x軸上方還是下方時(shí)要分類討論不要漏解．